Question

Задача 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите катеты треугольника. Задача 2. Дан прямоугольный треугольник ABC. Высота CD проведенная из вершины прямого угла, равна 48 см, AD = 36 см. Найдите стороны данного треугольника.

Answer 1

Пояснення:

Задача 1.

Высоту находим по формуле  $h^{2}=a_{c} * b_{c}$

$h^{2}=5*20\\h^{2}=100\\h=10$

Тогда рассматриваем два треугольника, которые образовались, и находим их гипотенузы(которые и есть теми катетами,которые нам нужно найти)

$a^{2} = h^{2}+a_{c} ^{2} \\a^{2} =10^{2}+5^{2} \\a^{2} =100+25\\a^{2} =125\\a=15$          $b^{2} =h^{2} +b_{c} ^{2} \\b^{2} =10^{2} +20^{2} \\b^{2}=100+400\\ b^{2} =500\\b=10\sqrt{5}$

Ответ: 15 и 10√5 см

Answer 2

Задача 1: Нахождение катетов прямоугольного треугольника

В данной задаче у нас имеется прямоугольный треугольник, в котором высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на два отрезка длиной 5 см и 20 см. Нам необходимо найти длины катетов треугольника.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть a и b - длины катетов, а c - длина гипотенузы.

Известно, что высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 5 см и 20 см. Пусть h - высота, тогда длины отрезков, на которые высота делит гипотенузу, будут равны h1 = 5 см и h2 = 20 см.

Мы можем записать следующие уравнения:

a^2 + h1^2 = c^2 b^2 + h2^2 = c^2

Теперь подставим известные значения:

a^2 + 5^2 = c^2 b^2 + 20^2 = c^2

После упрощения уравнений, получим:

a^2 + 25 = c^2 b^2 + 400 = c^2

Так как c^2 одинаково в обоих уравнениях, мы можем приравнять выражения для a^2 + 25 и b^2 + 400:

a^2 + 25 = b^2 + 400

Теперь мы можем решить это уравнение для a и b.

a^2 - b^2 = 400 - 25 (a - b)(a + b) = 375

Так как a и b - положительные числа, мы можем предположить, что a > b.

Разложим число 375 на два множителя, такие что a > b:

1 * 375 3 * 125 5 * 75 15 * 25

Нам подходит только вариант a = 15 и b = 25, так как a > b.

Таким образом, длины катетов треугольника равны 15 см и 25 см.

Ответ: Длины катетов треугольника равны 15 см и 25 см.

Задача 2: Нахождение сторон прямоугольного треугольника

В данной задаче у нас имеется прямоугольный треугольник ABC, в котором высота CD, проведенная из вершины прямого угла, равна 48 см, а сторона AD равна 36 см. Нам необходимо найти длины сторон данного треугольника.

Мы можем использовать теорему Пифагора для решения этой задачи. Вспомним, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть a и b - длины катетов, а c - длина гипотенузы.

Известно, что высота CD равна 48 см, а сторона AD равна 36 см. Пусть h - высота, тогда:

a^2 + h^2 = c^2 b^2 + h^2 = c^2

Подставим известные значения:

a^2 + 48^2 = c^2 b^2 + 48^2 = c^2

После упрощения уравнений, получим:

a^2 + 2304 = c^2 b^2 + 2304 = c^2

Так как c^2 одинаково в обоих уравнениях, мы можем приравнять выражения для a^2 + 2304 и b^2 + 2304:

a^2 + 2304 = b^2 + 2304

Теперь мы можем решить это уравнение для a и b.

a^2 - b^2 = 0 (a - b)(a + b) = 0

Так как a и b - положительные числа, a - b = 0.

Отсюда следует, что a = b.

Таким образом, длины катетов треугольника равны 36 см, а гипотенузы - 48 см.

Ответ: Длины сторон данного треугольника равны 36 см, 36 см и 48 см.