Question

Треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС). Точка М- середина стороны АВ, точка Р- середина отрезка СМ, точка Nделит сторону ВС в отношении 3:1 (считая от вершины В). Найдите отношение AP /MN?

Answer 1

Ответ:

1:1

Объяснение:

Пусть M' – середина стороны BC, точка N' делит сторону AB в отношении  3 : 1,  считая от вершины B (см. рисунок). Ясно, что  MN = M'N'.

Отрезки PM' и AN' равны и параллельны: отрезок M'P является средней линией треугольника CBM, поэтому он параллелен отрезку BM и равен его половине – то есть отрезку AN'. Следовательно,APM'N' – параллелограмм, и  AP = M'N' = MN.

Answer 2

Solution for Finding the Ratio AP/MN in an Isosceles Triangle

To find the ratio AP/MN in the given isosceles triangle ABC, where AB = BC, and points M, R, and N are defined as the midpoint of AB, the midpoint of CM, and a point dividing BC in the ratio 3:1 from vertex B, respectively, we can follow these steps:

1. Determine the Coordinates of Points A, B, and C: - Let's assume the coordinates of A to be (x1, y1), B to be (x2, y2), and C to be (x3, y3).

2. Use Midpoint Formula to Find the Coordinates of M and R: - The midpoint formula states that the coordinates of the midpoint of a line segment with endpoints (x1, y1) and (x2, y2) are ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2). - Using this formula, we can find the coordinates of M and R.

3. Use Section Formula to Find the Coordinates of Point N: - The section formula states that if a line segment AB is divided by a point N in the ratio m:n, then the coordinates of N are ((mx2 + nx1)/(m + n), (my2 + ny1)/(m + n)). - Using this formula, we can find the coordinates of N.

4. Calculate the Lengths AP and MN: - Once we have the coordinates of points A, P, M, and N, we can calculate the lengths AP and MN using the distance formula: √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

5. Find the Ratio AP/MN: - Finally, we can find the ratio AP/MN by dividing the length of AP by the length of MN.

Let's proceed with these calculations to find the ratio AP/MN.