Question

Пусть точка I – центр вписанного круга в треугольник ABC. Точки X и Y принадлежат сторонам AB и AC соответственно так, что BX⋅AB=IB^2 и CY⋅AC=IC^2. Известно, что точки X, I и Y лежат на одной прямой. Каких. значений может принимать угол А?

Answer 1

BX⋅AB=IB^2 => BX/IB=IB/AB

Треугольники ABI и IBX подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

∠BIX=∠BAI =A/2

Аналогично ∠CIY=∠CAI=A/2

∠BIC =90° +A/2 (угол между биссектрисами)

∠XIY =180° =90° +A/2 +A => A =90° * 2/3 =60°

Answer 2

Дано, что точки X, I и Y лежат на одной прямой. Это означает, что отрезки XI и IY являются касательными к окружности с центром в точке I.

Рассмотрим треугольник ABI. По условию, BX ⋅ AB = IB^2. Это соотношение означает, что BX является касательной к окружности с центром I и радиусом IB. Аналогично, в треугольнике ACI имеем CY ⋅ AC = IC^2, что означает, что CY является касательной к окружности с центром I и радиусом IC.

Таким образом, треугольник ABC является треугольником тангенциального типа, и известно, что вписанный угол равен полусумме углов при вершинах A и B. Обозначим угол BAC как α.

Из свойств треугольников тангенциального типа следует, что углы при вершинах A и B равны соответственно половинам углов между касательными, проведенными из вершины A и из вершины B.

Таким образом, угол BAI равен половине угла A, а угол ABI равен половине угла B.

Из соотношения BX ⋅ AB = IB^2 следует, что BX/IB = IB/AB, а значит, что треугольники BAI и BIX подобны.

Аналогично, из соотношения CY ⋅ AC = IC^2 следует, что треугольники CAI и CIY подобны.

Из подобия треугольников BAI и BIX следует, что углы BAI и IBX равны. То есть, угол B равен 2α.

Из подобия треугольников CAI и CIY следует, что углы CAI и IYC равны. То есть, угол C равен 2α.

Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Таким образом, угол A равен 180 - (2α + 2α) = 180 - 4α.

Значит, угол A может принимать любые значения, кратные 4 градусам.