Question

Помогите пожалуйста Сторону основания правильной треугольной пирамиды уменьшили в 6 раз, а высоту увеличили в 6 раз. Как изменился объем пирамиды?

Answer 1

Ответ:

У правильной треугольной пирамиды в основании лежит правильный треугольник ( равносторонний) . Пусть сторона его равна  а , высота пирамиды равна  Н .

Объём пирамиды равен   $V=\dfrac{1}{3}\, S_{osn}\cdot H=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot H=\dfrac{a^2\sqrt3\cdot H}{12}$  

Если сторону уменьшили в 6 раз, то она стала равна  а/6 .

Если высоту увеличили в 6 раз, то она стала равна  6Н .

Объём пирамиды стал равен

$V_1=\dfrac{1}{3}\, S_{osn}\cdot H=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{(\frac{a}{6})^2\sqrt3}{4}\cdot 6H=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{36\cdot 4}\cdot 6H=\dfrac{a^2\sqrt3\cdot H}{12\cdot 6}=\dfrac{V}{6}$    

Объём пирамиды уменьшился в 6 раз .

Answer 2

Объём пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * S * h,

где V - объём, S - площадь основания, h - высота.

При уменьшении стороны основания в 6 раз, площадь основания уменьшится в 6^2 = 36 раз. При увеличении высоты в 6 раз, новая высота будет равна 6h.

Таким образом, новый объём пирамиды будет:

V' = (1/3) * (S/36) * (6h) = (1/3) * S * h * 6/36 = (1/3) * V * 1/6 = V/18.

Итак, объём пирамиды уменьшился в 18 раз.