Question

Две окружности имеют общий центр. Прямая пересекает обе окружности. Докажите, что отрезки этой прямой, заключённые между окружностями равны

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Рассмотрим две концентрические окружности и секущую, которая пересекает бо́льшую окружность в точках $A$ и $D,$ а меньшую — в точках $B$ и $C.$ Из центра окружностей точки $O$ опустим перпендикуляр $OE$ на секущую. Так как треугольники $AOD$ и $BOC$ равнобедренные, точка $E$ в каждом из них является еще и основанием медианы, т. е. $AE = ED$ и $BE = EC.$ Тогда и отрезки $AB$ и $CD$ равны.

Answer 2

Пусть у нас есть две окружности с общим центром O и прямая, которая пересекает обе окружности в точках A и B, как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
      A
       \
        \
         O-------B
        /
       /

Мы должны доказать, что отрезки OA и OB равны между собой.

Рассмотрим треугольники OAB и OBA. Они имеют общую сторону OB и равны по двум сторонам: радиусам окружностей OA и OB, которые равны друг другу, так как они имеют общий центр O.

Теперь рассмотрим две другие стороны треугольников OAB и OBA: сторону OA и сторону AB. Согласно аксиоме о равных радиусах, длина отрезка OA равна длине отрезка OB.

Таким образом, у нас есть две равные стороны и общая сторона, что означает, что треугольники OAB и OBA равны по стороне-стороне-стороне (ССС). В результате отрезки OA и OB равны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что отрезки прямой, заключенные между окружностями, равны.