Question

Сформулируйте и докажите признаки подобия двух треугольников​

Answer 1

Чтобы определить, являются ли два треугольника подобными, необходимо выполнить следующие условия:

Треугольники должны иметь равные углы. Это означает, что у каждого треугольника должны быть три угла, равные по величине.

Соотношения длин сторон треугольников должны быть равны. Это означает, что если мы возьмем любые две стороны одного треугольника и поделим их на соответствующие стороны другого треугольника, то полученное соотношение должно быть равно единице.

Доказательство:

Равенство углов:

Пусть у треугольников ABC и A'B'C' углы A, B и C соответствуют углам A', B' и C' соответственно. Тогда углы A и A' равны, потому что угол – это некоторое количество градусов, а градусы – это величина, которая не зависит от того, какой фигурой она определяется. Таким образом, углы B и B' также равны, а углы C и C' также равны.

Равенство соотношений длин сторон:

Пусть стороны треугольника ABC имеют длины a, b и c, а стороны треугольника A'B'C' имеют длины a', b' и c'. Тогда соотношение длин сторон AB и A'B' равно a/a', а соотношение длин сторон BC и B'C' равно b/b'. Так как треугольники подобны, то эти соотношения равны единице. То же самое касается и соотношений AC/A'C' и BC/B'C'. Таким образом, все три соотношения равны единице, что и требовалось доказать.

В результате мы доказали, что два треугольника являются подобными, только если у них равны углы и соотношения длин сторон равны единице.

Answer 2

Признаки подобия двух треугольников можно сформулировать следующим образом:

1. Признак по сторонам: Если соотношение длин соответствующих сторон двух треугольников одинаково, то треугольники подобны. Формально, если треугольники ABC и DEF имеют соответствующие стороны в отношении AB/DE = BC/EF = AC/DF, то треугольники ABC и DEF подобны.

2. Признак по углам: Если углы двух треугольников соответственно равны, то треугольники подобны. Формально, если треугольники ABC и DEF имеют равные углы A = D, B = E и C = F, то треугольники ABC и DEF подобны.

3. Признак по соответствующим углам: Если углы двух треугольников соответственно равны, то треугольники подобны. Формально, если треугольники ABC и DEF имеют соответствующие углы в равных пропорциях, то треугольники ABC и DEF подобны.

Доказательство этих признаков основано на свойствах подобия треугольников.

Доказательство признака по сторонам: Пусть треугольники ABC и DEF имеют соответствующие стороны в отношении AB/DE = BC/EF = AC/DF. Тогда можно выбрать точку P на стороне AB и точку Q на стороне DE так, что AP/DP = BQ/EQ. Затем проведем прямую, проходящую через точку P и параллельную стороне AC, и прямую, проходящую через точку Q и параллельную стороне DF. По свойству параллельных прямых углы P и Q равны углам A и D соответственно. Аналогично проводятся прямые и углы для других сторон. Таким образом, углы треугольника ABC равны соответствующим углам треугольника DEF. Следовательно, треугольники ABC и DEF подобны.

Доказательства остальных признаков проводятся аналогично, используя свойства подобия треугольников и геометрические построения на соответствующих сторонах и углах треугольников.