Question

Даю 30! Кут при вершині С рівнобедреного трикутника АВС дорівнює 120 градусів. Проведено бісектрису АЕ і висоту АД. Доведіть, що АД = ДЕ.

Answer 1

Оскільки трикутник АВС рівнобедрений, то кути при вершинах А і В також дорівнюють 120 градусів.

Позначимо за x кут між бісектрисою АЕ і висотою АД. Тоді, з означення бісектриси, кути CAB і CAE дорівнюють x, а з означення висоти, кути CBA і CBD дорівнюють 60 градусів.

Розглянемо трикутник ADE. Оскільки кути CAB і CAE дорівнюють x, то кути DAB і EAC дорівнюють (180 - x)/2 (з означення бісектриси Також, оскільки кути CBA і CBD дорівнюють 60 градусів, то кут ADB дорівнює 120 - 60 = 60 градусів.

Отже, ми маємо два трикутники ABD і AEC, у яких відповідні кути дорівнюють між собою. З цього випливає, що ці трикутники подібні.

За теоремою про подібні трикутники, співвідношення довжин сторін подібних трикутників рівні співвідношенню відповідних бічних сторін. Оскільки АД є висотою трикутника ABD, а ДЕ є бісектрисою трикутника AEC, то АД і ДЕ є відповідними бічними сторонами цих трикутників.

Отже, за теоремою про подібні трикутники, маємо:

AD/BD = AE/EC

Але, оскільки трикутник АВС рівнобедрений, то BD дорівнює CD, а отже, AD = AC - CD = AC - BC/2 = AE.

Тому, AD/AE = 1, і ми маємо AD = DE, що і потрібно було довести.

Answer 2

Для доведення рівності АД = ДЕ спочатку доведемо, що трикутник АСЕ є рівнобедреним.

У рівнобедреному трикутнику АВС, якщо кут при вершині С дорівнює 120 градусів, то кожен з інших двох кутів при основі АВ дорівнює (180° - 120°) / 2 = 30°.

Оскільки кут ЕАС є внутрішнім кутом трикутника АСЕ, то він дорівнює (180° - 30°) = 150°.

Також, оскільки ЕА є бісектрисою кута А в трикутнику АВС, кути ЕАВ і ЕАС є рівними, тобто кут ЕАВ = кут ЕАС = 150°.

З іншого боку, кут АЕС є внутрішнім кутом трикутника АСЕ, і він дорівнює (180° - 150°) = 30°.

Оскільки ми з'ясували, що в трикутнику АСЕ кути ЕАС і АЕС дорівнюють 30°, то цей трикутник є рівнобедреним.

Далі, оскільки АД є висотою трикутника АВС, то він перпендикулярний до сторони ВС. З іншого боку, оскільки ЕА є бісектрисою кута А в трикутнику АВС, то вона також є бісектрисою кута Е в трикутнику АСЕ.

Оскільки АД перпендикулярний до сторони ВС і ЕА є бісектрисою кута Е, то відрізок АД є також перпендикулярним до сторони СЕ.

Отже, АД перпендикулярний до сторони ВС і паралельний до сторони СЕ, що означає, що АД || СЕ.

Оскільки АД || СЕ, і АД є висотою трикутника АВС, а СЕ є бісектрисою кута Е, то відрізок АД ділить бісектрису СЕ на дві рівні частини. Значить, АД = ДЕ.

Таким чином, ми довели, щ