Question

• Із вершиви прямого кута В прямокутного трикутника АВС до його площини проведено перпендикуляр ВК завдовжки 8 см. Знайдіть відстань від точки К до прямої AC, якщо АС=бкорень32 см кут ВСА=45градусів

Answer 1

Спочатку знайдемо довжини сторін трикутника АВС. Оскільки кут ВСА дорівнює 45 градусам, то АВС - прямокутний трикутник зі сторонами АВ, АС та ВС, де АВ - гіпотенуза, а АС та ВС - катети.

Оскільки АС = √32, то

AV = AC/cos(45°) = √32/cos(45°) ≈ 6.83 см,

оскільки cos(45°) = √2/2.

Тепер ми можемо знайти площу трикутника АВС:

S(ΔАВС) = 1/2 • AV • AC = 1/2 • 6.83 см • √32 см ≈ 15.37 см².

З іншого боку, ми можемо знайти висоту трикутника АВС, опущену на сторону АС:

h = 2 • S(ΔАВС) / AC = 2 • 15.37 см² / √32 см ≈ 5.44 см.

Тепер ми повинні знайти відстань між точкою К та прямою АС. За теоремою про подібні трикутники, ми можемо знайти, що співвідношення відстані між точкою К та АС і довжини висоти трикутника, опущеної з точки В на АС, дорівнює співвідношенню відстані між точкою К та стороною АВ і довжини відрізка ВК:

h/ВВ1 = КВ/ВА.

Тут ВВ1 - висота трикутника АВС, опущена на сторону АС з точки В.

Оскільки ВВ1 дорівнює AC/√2, то маємо:

h/(AC/√2) = КВ/AV,

або

КВ = h • AV / (AC/√2) ≈ 5.44 см • 6.83 см / (√32 см / √2) ≈ 5.66 см.

Отже, відстань між точкою К та прямою АС становить приблизно 5.66 см.

Answer 2

Щоб знайти відстань від точки К до прямої AC, нам потрібно спочатку знайти довжину відрізка АК. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику АВК маємо:

АК² = АВ² - ВК²

Довжину АВ ми знаємо - це АС, яке дорівнює квадратному кореню з 32:

АС = √32 = 4√2 см

Також нам дано, що кут ВСА = 45 градусів. Це означає, що кут ВАК також дорівнює 45 градусів, оскільки ВАК і ВСА - прилеглі кути.

Тепер можемо обчислити довжину відрізка ВК, використовуючи трикутник ВКА:

ВК = ВА * sin(ВАК)

ВА = АС = 4√2 см

sin(ВАК) = sin(45°) = √2 / 2

Таким чином, ВК = 4√2 * (√2 / 2) = 4 см

Тепер ми можемо обчислити довжину відрізка АК:

АК² = АВ² - ВК² АК² = (4√2)² - 4² АК² = 32 - 16 АК² = 16

АК = √16 = 4 см

Тепер, коли ми знаємо довжину відрізка АК, ми можемо знайти відстань від точки К до прямої AC. Ця відстань буде рівна довжині відрізка КС, оскільки К - точка на прямій AC:

КС = АС - АК = 4√2 - 4 см

Таким чином, відстань від точки К до прямої AC дорівнює 4√2 - 4 см.