Question

Допоможіть будь ласка!!! Даю 10балів! АВ- основа рівнобедреного трикутника АВС, СМ –його бісектриса. Знайдіть довжину цієї бісектриси, якщо периметр трикутника АВС дорівнює 40 см, а периметр трикутника АСМ дорівнює 35 см.

Answer 1

Відповідь:  довжина бісектриси СМ дорівнює 5 см

Пояснення:

Позначимо сторону рівнобедреного трикутника АВС через a, а довжину бісектриси СМ через b. За умовою задачі, периметр трикутника АВС дорівнює 40 см, тому маємо:

2a + BC = 40,

де BC – третя сторона трикутника АВС.

Оскільки трикутник АВС рівнобедрений, то AB = AC = a, і бісектриса СМ є середньою лінією у трикутнику АВС, тому SM = BC/2.

Також за умовою задачі периметр трикутника АСМ дорівнює 35 см, тому маємо:

a + b + SM = 35.

Підставляємо SM = BC/2:

a + b + BC/2 = 35.

Знаємо, що 2a + BC = 40, тому BC = 40 - 2a.

Підставляємо це у попереднє рівняння:

a + b + (40 - 2a)/2 = 35.

Спрощуємо:

a + b + 20 - a = 35,

b = 15 - a.

Таким чином, ми виразили довжину бісектриси через довжину сторони рівнобедреного трикутника. Щоб знайти b, треба знайти a.

Підставляємо BC = 40 - 2a у рівняння 2a + BC = 40:

2a + 40 - 2a = 40,

a = 10.

Отже, сторона рівнобедреного трикутника АВС дорівнює 10 см.

Підставляємо a = 10 у вираз для b:

b = 15 - a = 5

Answer 2

Нехай довжина AB трикутника ABC дорівнює c, тоді довжина бісектриси CM дорівнює b.

За теоремою про бісектриси, ми знаємо, що співвідношення довжин відрізків утворених бісектрисою в рівнобедреному трикутнику дорівнює:

AB/BC = AM/MC

Оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, то AB = BC = c.

З периметром трикутника ABC, ми отримуємо:

2c + c = 40 3c = 40 c = 40/3

З периметром трикутника ACM, ми отримуємо:

AC + AM + MC = 35

Оскільки AB = BC = c, то AC = 2c = 2 * (40/3) = 80/3.

Підставимо ці значення в рівняння:

80/3 + AM + b = 35 AM + b = 35 - 80/3 AM + b = (105 - 80)/3 AM + b = 25/3

Таким чином, ми отримали рівняння AM + b = 25/3.

Знаючи, що AM = c/2 = (40/3)/2 = 20/3, ми можемо підставити це значення:

20/3 + b = 25/3 b = 25/3 - 20/3 b = 5/3

Отже, довжина бісектриси CM дорівнює 5/3 см.