Question

Доказать, что точки A(1;2;0), B(4;3;4), C(2; -3; -2) , D(3;0;1) лежат в одной плоскости.

Answer 1

Доказать, что точки A(1;2;0), B(4;3;4), C(2; -3; -2) , D(3;0;1) лежат в одной плоскости.

Сначала найдём уравнение плоскости АВС.

Найдем векторы АВ и АС по координатам точек:

AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {4 - 1; 3 - 2; 4 - 0} = {3; 1; 4}

AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {2 - 1; -3 - 2; -2 - 0} = {1; -5; -2}

Находим уравнение плоскости АВС на основе векторного произведения векторов AB(3; 1; 4) и AC(1; -5; -2).

AB х AC =    

i            j           k |          i           j

3          1          4 |          3          1

1         -5          -2 |         1         -5 = -2i + 4j - 15k + 6j + 20i - 1k =

                                                     = 18i + 10j – 16k.

Найден нормальный вектор плоскости АВС: (18; 10; – 16).

По точке А(1;2;0) и вектору (18; 10; – 16) составляем уравнение плоскости АВС.

(x – 1)*18 + (y – 2)/10 + z*(-16) = 0.

18x + 10y – 16z – 38 = 0, или, сократив на 2:

9x + 5y – 8z – 19 = 0.

Теперь подставим координаты точки D(3;0;1) в полученное уравнение.

9*3 + 5*0 – 8*1 – 19 = 0.

27 + 0 – 8 - 19 = 0,

0 = 0.

Да, точка D лежит в одной плоскости с точками А, В и С.

Answer 2

Для доказательства, что точки A(1;2;0), B(4;3;4), C(2;-3;-2) и D(3;0;1) лежат в одной плоскости, мы можем воспользоваться свойствами векторного произведения.

Векторное произведение двух векторов AB и AC, где A, B и C - точки в пространстве, равно нулю, если эти векторы лежат в одной плоскости. Используя это свойство, мы можем проверить, что векторное произведение AB и AC равно нулю.

Вектор AB можно получить вычитанием координат точки A из координат точки B:

AB = B - A = (4-1; 3-2; 4-0) = (3; 1; 4)

Аналогично, вектор AC можно получить вычитанием координат точки A из координат точки C:

AC = C - A = (2-1; -3-2; -2-0) = (1; -5; -2)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC. Пусть P - векторное произведение AB и AC:

P = AB × AC = (1*(-2) - (-5)4; -53 - (-2)1; 3(-2) - 1*(-5)) = (-2 + 20; -15 + 2; -6 + 5) = (18; -13; -1)

Если векторное произведение P равно нулю, то точки A, B и C лежат в одной плоскости. В нашем случае, векторное произведение P не равно нулю, так как его координаты не все равны нулю.

Таким образом, точки A(1;2;0), B(4;3;4), C(2;-3;-2) и D(3;0;1) не лежат в одной плоскости.