Question

Определите при каких значениях параметра a уравнение x^2+ y^2+z^2-4x+6y-8z+a=0 задает сферу.

Answer 1

$x^2+y^2+z^2-4x+6y-8z+a=0\\x^2-4x+4+y^2+6y+9+z^2-8z+16=29-a\\(x-2)^2+(x+3)^2+(z-4)^2=29-a$

Уравнение будет задавать сферу, пока 29-a≥0

Значит уравнение задаёт сферу при параметре a≤29

(При параметре a равном 29, уравнение задаёт сферу с радиусом 0)

Answer 2

Уравнение x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 8z + a = 0 задает сферу в трехмерном пространстве, если коэффициенты при квадратичных членах (x^2, y^2, z^2) равны единице. То есть, для того чтобы уравнение представляло сферу, должно выполняться следующее условие:

1 + 1 + 1 = 3

Коэффициенты при линейных членах (-4x, 6y, -8z) должны быть равными по модулю и сумма коэффициентов должна быть равна нулю. То есть, должно выполняться следующее условие:

|-4| + |6| + |-8| = 4 + 6 + 8 = 18

Коэффициент при свободном члене (a) не должен влиять на форму сферы, поэтому значение a может быть любым.

Итак, для того чтобы уравнение x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 8z + a = 0 задавало сферу, значения параметра a могут быть любыми.