Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите углы между плоскостями ABC и CDA1

Answer 1

Ответ:

45°

Объяснение:

Плоскость CDA₁ пересекает верхнее основание по прямой A₁B₁, так как параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым.

AD ⊥ DC как стороны квадрата,

AD - проекция A₁D на основание, значит A₁D ⊥ DC по теореме о трех перпендикулярах, следовательно

∠A₁DA - линейный угол двугранного угла между плоскостями АВС и CDA₁.

Диагонали квадрата лежат на биссектрисах его углов, поэтому

∠A₁DA = 1/2 · 90° = 45°

Answer 2

Для нахождения углов между плоскостями ABC и CDA1 в кубе ABCDA1B1C1D1, нужно рассмотреть направляющие векторы для каждой плоскости и использовать их для вычисления угла между ними.

Направляющие векторы для плоскости ABC можно найти, взяв векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Возьмем, например, вектор AB и вектор BC.

AB = B - A = (Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az) BC = C - B = (Cx - Bx, Cy - By, Cz - Bz)

Вычислим их векторное произведение:

N_ABC = AB x BC = (ABy * BCz - ABz * BCy, ABz * BCx - ABx * BCz, ABx * BCy - ABy * BCx)

Теперь рассмотрим плоскость CDA1. Направляющие векторы для этой плоскости можно найти, взяв векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Возьмем, например, вектор CD и вектор DA1.

CD = D - C = (Dx - Cx, Dy - Cy, Dz - Cz) DA1 = A1 - D = (A1x - Dx, A1y - Dy, A1z - Dz)

Вычислим их векторное произведение:

N_CDA1 = CD x DA1 = (CDy * DA1z - CDz * DA1y, CDz * DA1x - CDx * DA1z, CDx * DA1y - CDy * DA1x)

Теперь мы имеем два нормализованных вектора, N_ABC и N_CDA1, для плоскостей ABC и CDA1 соответственно. Для вычисления угла между плоскостями, мы можем использовать формулу:

cos(θ) = (N_ABC · N_CDA1) / (||N_ABC|| ||N_CDA1||)

где · обозначает скалярное произведение, ||N_ABC|| и ||N_CDA1|| обозначают длины векторов N_ABC и N_CDA1 соответственно.

Зная значение cos(θ), мы можем вычислить угол θ, используя функцию арккосинуса (cos^(-1)).

Таким образом, угол между плоскостями ABC и CDA1 в кубе ABCDA1B1C1D1 может быть вычислен по этим шагам.