Question

В треугольнике abc проведена биссектриса ad. Докажите, что если ab+bd=ac+dc, то abc равнобедренный.

Answer 1

Пусть :  ab = x ;   ac=y ;     bd=m  ; dc=n

По свойству биссектрисы :

x/y = m/n

По  условию :

x+m= y+n

m=x*n/y

x+x*n/y = y+n

x-y  + n* (x/y  -1) = 0    (Поскольку  y>0 ,можно умножить на y )

y*(x-y)   +n*(x-y) = 0

(y+n)*(x-y) = 0

Поскольку y+n >0  

x-y=0

x=y

Таким образом треугольник abc - равнобедренный .

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник ABC является равнобедренным, будем использовать информацию о равенстве длин отрезков AB + BD = AC + DC.

Пусть треугольник ABC является равнобедренным, и сторона AB равна стороне AC (AB = AC). Поскольку AD является биссектрисой угла BAC, то отрезок BD делит угол BAC пополам. Таким образом, угол BAD равен углу DAC (BAD = DAC).

Рассмотрим треугольники ABD и ACD. У них общая сторона AD, угол BAD = углу DAC и отрезок AB = AC (по условию равнобедренности). Поэтому по стороне-стороне-стороне (ССС) треугольники ABD и ACD равны.

Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что отрезок BD = DC. Таким образом, мы получили равенство длин отрезков AB + BD = AC + DC.

Обратное доказательство может быть проведено с использованием теоремы о равенстве треугольников: если отрезок AB + BD = AC + DC, и угол BAD = углу DAC, то треугольники ABD и ACD равны по стороне-стороне-стороне (ССС), что означает равенство сторон AB = AC и BD = DC. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.