Question

Все боковые грани треугольной пирамиды составляют с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите высоту пирамиды, если стороны её основания равны 13, 14 и 15. ​

Answer 1

Ответ:

$\boxed{KO = 4}$ см

Объяснение:

Дано: KABC - пирамида, ∠(KBC, ABC) = ∠(KAB, ABC) = ∠(KAC, ABC) = 45°, KO ⊥ ABC, BC = 14 см, AC = 13 см, AB = 15 см.

Найти: KO - ?

Решение: Так как по условию ∠(KBC, ABC) = ∠(KAB, ABC) = ∠(KAC, ABC), то по теореме точка K проектируется в центр вписанной окружности треугольника ΔABC. Так как точка K проектируется в точку O, то точка O - центр вписанной окружности треугольника ΔABC. Пусть p - полупериметр треугольника ΔABC, a r - радиус вписанной окружности треугольника ΔABC.

$p = 0,5 * P_{\bigtriangleup ABC} = 0,5*( AB + BC + AC) = 0,5*(15 + 14 + 13) = 0,5 * 42 = 21$ см. По формуле Герона для площади треугольника  ΔABC:

$S_{\bigtriangleup ABC} = \sqrt{p(p - AC)(p - BC)(p - AB)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} =$

$\sqrt{21 * 8 * 7 * 6} = \sqrt{7056} = 84$ см². По формуле площади для треугольника  ΔABC: $S_{\bigtriangleup ABC} = pr \Longrightarrow r = \dfrac{S_{\bigtriangleup ABC}}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$ см. По теореме о трех перпендикулярах так как по условию KO ⊥ ABC и (OF ⊂ ABC) и OF ⊥ BC как радиус к касательной в точке, то KF ⊥ BC. Так как KF ⊥ BC и

OF ⊥ BC, то ∠(KBC, ABC) = ∠KFO = 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔKOF. $tg \ \angle KOF = \dfrac{KO}{OF} \Longrightarrow KO = OF * tg \ \angle KOF = 4 * tg(45^{\circ}) = 4 * 1 = 4$ см.

Answer 2

Для решения данной задачи можно использовать теорему косинусов. Обозначим высоту пирамиды через 'h'.

Известно, что боковые грани треугольной пирамиды составляют с плоскостью основания угол 45 градусов. Это означает, что треугольник, образованный боковой гранью и двумя сторонами основания, является прямоугольным треугольником.

Применим теорему косинусов к этому треугольнику: cos(45°) = (сумма квадратов катетов) / (гипотенуза)

В нашем случае, гипотенуза треугольника - это высота пирамиды 'h', а катеты - стороны основания треугольника (13, 14 и 15).

cos(45°) = (13^2 + 14^2 - h^2) / (2 * 13 * 14) sqrt(2)/2 = (169 + 196 - h^2) / (364) 182(sqrt(2)) = 365 - h^2 h^2 = 365 - 182(sqrt(2)) h^2 ≈ 120.336 h ≈ sqrt(120.336) h ≈ 10.97

Таким образом, высота пирамиды составляет примерно 10.97 единиц длины.