Question

В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=1,BC=7(КОРЕНЬ)3,угол ABC=150. Через диагональ АС и вершину В1 проведена плоскость,составляющая с плоскостью основания угол 60. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипида.

Answer 1

Ответ:

$S=\dfrac{42(1+7\sqrt{3})}{26}$

Объяснение:

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда:

S = Росн · ВВ₁

Росн = 2(AB + BC) = 2(1 + 7√3)

Проведем ВН⊥АС. ВН - проекция В₁Н на плоскость основания, значит

В₁Н⊥АС по теореме о трех перпендикулярах, ⇒

∠В₁НВ = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями (В₁АС) и основанием.

ΔАВС: по теореме косинусов:

АС² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos∠B

AC² = 1 + 147 + 2 · 7√3 · √3/2 = 148 + 21 = 169

AC = 13

Sabc = 1/2 AB · BC · sin∠B = 1/2 · 7√3 · 1/2 = $\dfrac{7\sqrt{3}}{4}$

Sabc = 1/2 AC · BH

$BH=\dfrac{2Sabc}{AC}=\dfrac{2\cdot 7\sqrt{3}}{4\cdot 13}=\dfrac{7\sqrt{3}}{26}$

ΔBB₁H:

tg∠B₁HB = BB₁ / BH

BB₁ = BH · tg60°

$BB_{1}=\dfrac{7\sqrt{3}}{26}\cdot \sqrt{3}}=\dfrac{21}{26}$

$S=2(1+7\sqrt{3})\cdot \dfrac{21}{26}=\dfrac{42(1+7\sqrt{3})}{26}$

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойствами параллелепипеда.

Изначально, нам даны значения сторон параллелепипеда AB = 1, BC = √3, и угол ABC = 150 градусов.

Мы можем заметить, что треугольник ABC является прямоугольным треугольником, поскольку угол ABC равен 150 градусов (это значит, что угол BCA равен 30 градусов).

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через диагональ AC и вершину B1 параллелепипеда. Поскольку эта плоскость составляет угол 60 градусов с плоскостью основания, она будет пересекать все ребра параллелепипеда, кроме ребра AB (поскольку они лежат в одной плоскости).

Поскольку треугольник ABC является прямоугольным треугольником, мы можем использовать тригонометрические соотношения для вычисления сторон треугольника ABC. Для этого мы знаем, что:

sin(30°) = AB / BC,

sin(30°) = 1 / (√3).

Отсюда получаем:

BC = AB / (sin(30°)) = 1 / (√3) / (√3/2) = 2 / 3.

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник ABC. Поскольку BC = 2 / 3, AC = √(AB^2 + BC^2) = √(1^2 + (2/3)^2) = √(1 + 4/9) = √(13/9).

Теперь рассмотрим боковую поверхность параллелепипеда. Она состоит из трех прямоугольников: AB1C1C, A1B1C1C и ABC1C1.

Первый прямоугольник AB1C1C имеет длину AB1 = BC = 2 / 3 и ширину AC1 = AC = √(13/9).

Второй прямоугольник A1B1C1C имеет длину A1B1 = AB = 1 и ширину AC1 = AC = √(13/9).

Третий прямоугольник ABC1C1 имеет длину AB = 1 и ширину AC1 = AC = √(13/9).

Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна сумме площадей этих трех прямоугольников:

S = AB