Question

1. Выполните чертеж куба MKLPM1K1L1P1. По чертежу укажите: а) прямые параллельные для прямой MK; б) прямые скрещивающиеся с прямой LL1; в) плоскости параллельные прямой PL. Пересекаются ли прямые K1P и KL? K1P и M1L1? KL линией пересечения каких плоскостей является Найти: 3 пары параллельных прямых, 3 пары скрещивающихся прямых, 3 пары пересекающихся прямых. Найти S∆MKL, а S∆AKB=8 где A – середина MK, B-середина KL 2. Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекается с плоскостью α в точке В. Через А и М проведены параллельные прямые, пересекающие α в точках А1 и M1. а) Докажите, что А1, М1 и В лежат на одной прямой. б) Найдите длину отрезка АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2, AM = 6.

Answer 1

Ответ:

1.

а) MK ║ PL ║ M₁K₁ ║ P₁L₁

б) прямые, скрещивающиеся (не лежащие в одной плоскости) с прямой LL₁:

МК, МР, МК₁, МР₁

в) PL ║ (MM₁K), PL ║ (M₁K₁P₁)

________

Прямые К₁Р и KL не пересекаются.

Прямые К₁Р и M₁L₁ не пересекаются.

________

Прямая KL является линией пересечения плоскостей (МКL) и (KLL₁).

________

3 пары параллельных прямых:

MK ║ PL, MM₁ ║ KK₁, M₁P₁ ║ K₁L₁

3 пары скрещивающихся прямых:

МК и РР₁, МР и КК₁, PL и ММ₁

3 пары пересекающихся прямых:

МК ∩ МР = М,  РР₁ ∩ PL = P,  LL₁ ∩ LK = L

________

S_{ABK} = 8

А - середина МК, В - середина KL, значит АВ - средняя линия треугольника MKL.

Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом подобия k = 1/2. Значит,

ΔАКВ ~ ΔMKL

$k=\dfrac{1}{2}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$\dfrac{S_{AKB}}{S_{MKL}}=k^2=\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{8}{S_{MKL}}=\dfrac{1}{4}$

$\boldsymbol{S_{MKL}}=8\cdot 4\boldsymbol{=32}$

2.

а) Через две пересекающиеся прямые АВ и АА₁ проходит плоскость (АА₁В). Прямая АВ лежит в этой плоскости, значит и точка М так же лежит в ней.

В этой плоскости через точку М можно провести единственную прямую, параллельную прямой АА₁. Значит, прямая ММ₁ лежит в плоскости (АА₁В).

Плоскость (АА₁В) пересекает плоскость α по прямой ВА₁, на которой лежат все их общие точки, значит и точка М₁.

Итак, точки А₁, М₁ и В лежат на одной прямой.

б) АА₁ : ММ₁ = 3 : 2

В треугольнике АВА₁ проведена прямая ММ₁, параллельная стороне АА₁, значит она отсекает треугольник, подобный данному.

ΔВММ₁ ~ ΔВАА₁

$\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{AA_1}{MM_1}$

Пусть ВМ = х, тогда

АВ = ВМ + МА = х + 6

$\dfrac{x+6}{x}=\dfrac{3}{2}$

3x = 2(x + 6)

3x = 2x + 12

x = 12

AB = 12 + 6 = 18

Answer 2

Извините, но визуальные элементы, такие как чертежи, не могут быть представлены в текстовом формате. Однако я могу помочь с аналитическим решением вашей задачи.

1. Чертеж куба MKLPM1K1L1P1:

cssCopy code
          K1--------L1
         /|        / |
        / |       /  |
       M--+------+---L
       |  |      |  /
       |  P------|-P1
       | /       |/
       |/        |
       M1--------K

а) Прямые, параллельные прямой MK: LL1, K1P1, KL1, K1L. б) Прямые, скрещивающиеся с прямой LL1: MK, MP, M1P1. в) Плоскости, параллельные прямой PL: MKL1L, M1K1K, MP1P.

Прямые K1P и KL не пересекаются, так как они параллельны и находятся в одной плоскости.

Прямые K1P и M1L1 пересекаются в точке P, так как они не параллельны и находятся в разных плоскостях.

KL является линией пересечения плоскостей MKL1L и M1K1K.

Теперь рассмотрим пары прямых:

• Пары параллельных прямых: MK и M1K1, LL1 и K1L, MP и M1P1.
• Пары скрещивающихся прямых: MK и KL, MK и MP, KL и K1P1.
• Пары пересекающихся прямых: K1P и MP, K1P1 и M1P1, KL и M1L1.

2. Пусть точка M лежит на отрезке AB. Отрезок AB пересекается с плоскостью α в точке B. Через А и М проведены параллельные прямые, пересекающие α в точках A1 и M1.

а) Для доказательства, что А1, М1 и В лежат на одной прямой, воспользуемся свойством параллельных прямых и прямым углом. Так как А1 и М1 лежат на параллельных прямых AM и АВ соответственно, и AM параллельна АВ, то угол М1А1В будет прямым. Также угол М1АВ является прямым, так как АМ1 и АВ параллельны. Таким образом, А1, М1 и В лежат на одной прямой.

б) По условию известно, что АА1