Question

Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит угол ВАС пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 3.

Answer 1

Ответ:

6

Объяснение:

Точкой D будем считать пересечение прямой AD и медианы BM (хотя в условии это не сказано, но это и не важно).

Тогда треугольники ADB и ADM являются прямоугольными (AD ⊥ BM).

Углы BAD и MAD равны, так как AD является биссектрисой угла BAC.

Отсюда следует, что треугольники ADB и ADM зеркально равны и длина AB равна длине AM.

Но BM является медианой и следовательно делит сторону AC на равные отрезки: AM и MB.

AB = 3, AM = MB = AB,

AC = AM + MB = 3 + 3 = 6

Answer 2

Пусть прямая AD пересекает сторону ВС в точке М. Так как медиана ВМ делит сторону АС пополам, то АМ = MC. Обозначим угол BAM и угол CAM как α и β соответственно. Также пусть угол ВАС равен γ.

Так как прямая AD перпендикулярна медиане ВМ, то она также перпендикулярна стороне ВС. Таким образом, угол AMD равен 90 градусов.

Так как AD делит угол ВАС пополам, то угол BAD равен углу CAD, то есть α = β.

Из треугольника АВМ по теореме косинусов:

AM² = AB² + BM² − 2AB · BM cos(α)

AM² = 9 + (BC/2)² − 3BC · cos(α)

Аналогично, из треугольника АСМ:

MC² = AC² + BM² − 2AC · BM cos(β)

MC² = 9 + (BC/2)² − 3BC · cos(β)

Так как AM = MC, можно приравнять выражения для AM² и MC²:

9 + (BC/2)² − 3BC · cos(α) = 9 + (BC/2)² − 3BC · cos(β)

cos(α) = cos(β)

Так как α = β, то cos(α) = cos(β) = cos(γ/2).

Из треугольника АВС по теореме косинусов:

AC² = AB² + BC² − 2AB · BC cos(γ)

3² = 9 + BC² − 18cos(γ/2)

BC² − 18cos(γ/2) − 6 = 0

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, получаем:

BC = √(18cos(γ/2) + 30)

Таким образом, чтобы найти сторону АС, нужно найти угол γ и подставить его в формулу для BC.

Так как AD делит угол ВАС пополам, то угол BAD равен углу CAD, то есть γ/2 = 45 градусов.

Тогда:

BC = √(18cos(45) + 30) = √54 = 3√6

Таким образом, сторона АС равна 2·BC = 6√6.