Question

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 57. Найдите площадь четырёхугольника ABMN

Answer 1

MN - средняя линия, MN=1/2*AB => 2MN=AB
Провести высоту - CE к NM, и CD к АB из C
SCMN=1/2*CE*MN=57
CE*MN=57*2
В треугольник ACD NE || AD, NE - средняя линия ACD, CE=ED.
ABMN - трапеция
По формуле:
SABMN=(NM+AB)/2*ED
SABMN=(NM+2NM)/2*CE
3NM/2*CE=1,5NM*CE=1,5*114=171

Answer 2

МН-средняя линия треугольника АВС, МН параллельна АВ, МН=1/2АВ, треугольник СНМ подобен треугольнику АВС по двум равным углам (уголС-общий , уголА=уголСНМ как соответственные), МН/АВ=1/2, площади подобных треугольников относятся как квадраты подобных сторон., площадьСНМ/площадьАВС=НМ в квадрате/АВ в квадрате, 57/площадьАВС=1/4, площадь АВС=57*4=228, площадьАНМВ=площадьАВС-площадьСНМ=228-57=171

Answer 3

Площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC$. Так как $M$ и $N$ — середины сторон, то $AC = 2 AN$ и $BC = 2 BM$. Подставляя это в выражение для площади треугольника $ABC$, получаем:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2AN \cdot 2BM = 2 \cdot AN \cdot BM.$$

Площадь треугольника $CNM$ равна $S_{CNM} = \frac{1}{2} CM \cdot MN$. Так как $M$ и $N$ — середины сторон, то $CM = \frac{1}{2} (AC + BC) = AN + BM$. Подставляя это и выражения для $AN$ и $BM$ в выражение для площади $S_{CNM}$, получаем:

$$S_{CNM} = \frac{1}{2} \cdot (AN + BM) \cdot \frac{1}{2} MN = \frac{1}{4} (AN \cdot MN + BM \cdot MN).$$

Так как $AN = \frac{1}{2} AC$ и $BM = \frac{1}{2} BC$, то

$$AN \cdot MN + BM \cdot MN = \frac{1}{2} MN \cdot (AC + BC) = \frac{1}{2} MN \cdot AB.$$

Таким образом, имеем:

$$S_{CNM} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} MN \cdot AB = \frac{1}{8} S_{ABM}.$$

Отсюда следует, что $S_{ABM} = 8 \cdot S_{CNM} = 456$.