Question

плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен \"альфа\" а боковое ребро равно L. найдите объём конуса вписанного в пирамиду.

Answer 1

АВСД -основание Р вершина пирамиды, т.О центр основания

АВ=2Lsin(α/2)

АС=АВ√2=2√2Lsin(α/2)

СО=АС/2

РО=√(РС²-СО²)=√(L²-2L²sin²(α/2))=L√(1-2sin²(α/2))=H

R=АВ

V=πR²H/3, подставте сами, слишком много буквенных символов

Удачи!!!

Answer 2

Рассмотрим плоскости, содержащие боковые ребра пирамиды. Они образуют четыре равнобедренных треугольника со сторонами L, L и 2r, где r - радиус вписанного в пирамиду конуса. По теореме Пифагора для каждого из этих треугольников получаем:

$L^2 = r^2 + (L/2)^2$

Отсюда находим:

$r = \sqrt{L^2/4 + L^2/4} = L\sqrt{2}/2$

Объем конуса равен:

$V = (1/3)\pi r^2 h = (1/3)\pi L^2/2 \cdot h = (1/6)\pi L^2h$

Где h - высота пирамиды.

Высота пирамиды равна (по теореме Пифагора для одного из боковых треугольников):

$h = \sqrt{L^2 - (L/2)^2} = L\sqrt{3}/2$

Таким образом,

$V = (1/6)\pi L^2 \cdot L\sqrt{3}/2 = \boxed{\pi L^3\sqrt{3}/12}$