Question

помогите пожалуйста очень нужно в основании конуса проведена хорду длиной 12 см которую видно из центра основания под углом 120 градусов. Найдите объем конуса если его образующая равна 8

Answer 1

Чтобы найти объём надо найти радиус основания конуса и его высоту. Рассмотрим Основание конуса, в котором проведена хорда равная 12 см. Соединим концы хорды с центром окружности. Получим равнобедренный треугольник. По теореме косинусов
144 = х² + х² - 2·х·х·cos120°,
144 = 2·х² + х²
144 = 3·х²
х² = 144÷3
х² = 48
х = 4√3 (см) - это радиус
Найдём высоту, по теореме Пифагора h² = 8² - x²
h² = 64 - 48 = 16
h = 4(cм)
Найдём  теперь объём 
V= 1/3 π·r²·h = 1/3·π·48·4 = 64π (см³)

Answer 2

Используем формулу для нахождения объема конуса:

V = (1/3)πr^2h

где r - радиус основания, h - высота конуса, а образующая равна √(r^2 + h^2).

Нам дана хорда основания (AB) длиной 12 см, которая видна из центра основания (O) под углом 120 градусов. Т.е. у нас есть равносторонний треугольник AOB с углом в вершине O равным 120 градусам:

[asy]
pair O=(0,0), A=(-3,0), B=(3,0), C=(0,5.2);
draw(A--B--C--cycle);
draw(O--C);
label("$O$",O,SW);
label("$A$",A,S);
label("$B$",B,S);
label("$C$",C,N);
label("$6$",(A+C)/2,NW);
label("$6$",(B+C)/2,NE);
label("$12$",(O+C)/2,S);
[/asy]

Мы знаем, что AO = BO = r (т.к. треугольник равносторонний), а AC = BC = h (т.к. вертикальная проекция на горизонтальной оси). Используя теорему косинусов для треугольника AOB, можно выразить радиус основания:

r^2 = AB^2 / 4 = 36

А используя дополнительный угол в треугольнике AOC, можем выразить высоту:

cos 60 = AC / AO
h = AC = AO cos 60 = r / 2

h = 3√3

Теперь можно найти образующую:

√(r^2 + h^2) = √(36 + 27) = 3√13

И подставив все значения в формулу для объема конуса, получим:

V = (1/3)πr^2h = (1/3)π(36)(3√3) = 36π√3

Ответ: объем конуса равен 36π√3.