Question

параллелограмме кмнп проведена биссектриса угла мкп  которая пересекает сторону мн в точке е. а)докажите  что треугольник кме равнобедренный б)найдите сторону кп если ме=10см а периметр параллелограмма равен 52 см

Answer 1

       М        Е        Н

К                     Р

а) уголМЕК=углуЕКР как накрест лежащие при МН II КР и секущей КЕ.
уголМКЕ=углуЕКР, т.к. КЕ - биссектриса.
Следовательно, уголМКЕ=углуМЕК, следовательно, треугольник КМЕ равнобедренный (углы при основании равны)

б) т.к. треугольник КМЕ равнобедренный, следовательно, КМ=МЕ=10см.
КМ=НР=10см 
МН=МЕ+ЕН
МН=КР
МН+КР=52-10-10=32см
32=(МЕ+ЕН)*2
32=(10+ЕН)*2
10+ЕН=16
ЕН=16-10=6см
КР=10+6=16см

Answer 2

а) Так как биссектриса угла делит его на две равные части, то угол МКЕ равен углуКЕП. Но углы КМП и МКП дополняются до 180 градусов, поэтому они равны между собой. Значит, угол КПЕ также равен углу МКЕ. Таким образом, у треугольника КМЕ два равных угла, значит он равнобедренный.

б) Обозначим сторону КП через а. Так как периметр параллелограмма равен 52 см, то сторона КН равна 26 см. Также из равнобедренности треугольника КМЕ следует, что МЕ равно КЕ, то есть 10 см. Тогда МК равно 26 - 2х, а МН равно (26 - а). В треугольнике МКЕ применим теорему Пифагора:

(26 - 2х)² + 10² = МН²

676 - 104х + 4х² + 100 = (26 - а)²

4х² - 104х + 676 = а² - 52а + 676

4х² - 52а = -52х

а = 10,5 см.

Ответ: сторона КП равна 10,5 см.