Question

1. В треугольнике MNK уголMNK = 150°, MN = 8, а площадь тре¬угольника равна 20. Найдите NK. 2. В параллелограмме один из углов равен 45°, а его стороны равны 5 см и 8 см. Найдите его площадь. 3. В прямоугольнике диагональ равна 12 см, а угол между диагоналями 30°. Найдите площадь прямоугольника. 4.Угол между лучом ОМ, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен а. Найдите координаты точки М, если: а) ОМ = 4; a = 60°;                  б) ОМ= 8; а= 150°. 5.Угол между лучом ОР, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен р. Найдите координаты точки Р, если: а) ОР = 6; р = 30°;                   б) ОР= 10; р = 120°

Answer 1

Ответ:

1. 10

2. 20√2 см²

3. 36 см²

4. а)  (2; 2√3)

   б) (- 4√3; 4)

5. а) (3√3; 3)

   б) (- 5; 5√3)

Объяснение:

1.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:

Smnk = 1/2 · MN · NK · sin∠MNK

sin∠MNK = sin 150° = sin (180° - 30°) = sin 30° = 1/2

20 = 1/2 · 8 · NK · 1/2

20 = 2 · NK

NK = 20 / 2 = 10

2.

Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними.

S = 5 · 8 · sin 45° = 40 · √2/2 = 20√2 см²

3.

Площадь любого четырехугольника можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними.

Диагонали прямоугольника равны.

S = 1/2 d² · sin 30° = 1/2 · 12² · 1/2 = 36 см²

4.

а) А - точка пересечения луча ОМ с единичной окружностью.

Координаты точки А:

xₐ = cos 60° = 1/2

yₐ = sin 60° = √3/2

ΔOAB подобен ΔOMK по двум углам (угол О общий, ∠В = ∠К = 90°), ⇒

x : xₐ = OM : OA

x = xₐ · OM = 1/2 · 4 = 2

Аналогично,

y = yₐ · OM = √3/2 · 4 = 2√3

б)  xₐ = cos 150° = cos (180° - 30°) = - cos 30° = - √3/2

    yₐ = sin 150° = sin (180° - 30°) = sin 30° = 1/2

x = xₐ · OM = - √3/2 · 8 = - 4√3

y = yₐ · OM = 1/2 · 8 = 4

5.

а) xₐ = cos 30° = √3/2

   yₐ = sin 30° = 1/2

x = xₐ · OР = √3/2 · 6 = 3√3

y = yₐ · OP = 1/2 · 6 = 3

б) xₐ = cos 120° = cos (180° - 60°) = - cos 60° = - 1/2

    yₐ = sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = √3/2

x = xₐ · OP = - 1/2 · 10 = - 5

y = yₐ · OP = √3/2 · 10 = 5√3