Question

Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD (AD параллельна BC). А)Доказать, что треугольник MAD и MBC имеют параллельные средние линии. Б)Найти длины этих средних линии, если AD:BC=5:3, а средняя линия трапеции равна 16см.

Answer 1

Если прямая параллельна хотя бы одной прямой лежащей в плоскости то она либо параллельная самой плоскости либо принадлежит ей.

Рассмотрим тр. AMD и BMC

A1D1 - сред. линия тр. AMD, не принадлежит ABCD, A1D1 || AD

B1C1 - сред. линия тр. BMC, не принадлежит ABCD, B1C1 || BC

по условию BC||AD ⇒ A1D1 || B1C1

ч.т.д.

 

AD:BC=5:3

KL - ср. линия трап. = 16 см

A1D1 - ?

B1C1 - ?

Введем переменную x ⇒ AD=5x, BC=3x

Тогда по формуле средней линии трапеции:

16=(5x+3x)/2

32=8x

x=4

AD=5*4=20 см

BC=3*4=12 см

Тогда:

A1D1=1/2*AD=1/2*20=10 см

B1C1=1/2*BC=1/2*12=6 см

 

Answer 2

А) Пусть P и Q - середины BC и AD соответственно. Тогда MP и MQ являются медианами треугольника MAD, а MP и PQ - медианы треугольника MBC. Так как MP и PQ параллельны AD и BC, соответственно, из теоремы о трех параллельных линиях следует, что MP параллельно PQ. Значит, треугольники MAD и MBC имеют параллельные средние линии.

Б) Пусть AD = 5x, BC = 3x, средняя линия трапеции равна 16 см. Тогда DP = CQ = (AD + BC)/2 = 4x. Искомые средние линии - это отрезки, соединяющие середины соответствующих сторон треугольников MAD и MBC. Используя формулу для длины медианы треугольника, находим:

DM = √(2MA² + 2AD² - AD·MD) / 2
DM = √(2MA² + 50x² - 5x·DM) / 2

CM = √(2MB² + 2BC² - BC·MC) / 2
CM = √(2MB² + 18x² - 3x·CM) / 2

Заметим, что MA = MB (так как они являются высотами треугольника MAD и MBC, проведенными к одной и той же стороне). Поэтому можно заменить MA на MB в первом уравнении:

DM = √(2MB² + 50x² - 5x·DM) / 2

Теперь выразим MB через DM из этого уравнения, подставим во второе уравнение и решим его относительно CM:

CM = √(8DM² + 144x² - 8x·DM²) / 6

Подставляя значения x=16/8=2,5 и известную среднюю линию трапеции в формулы, получаем:

DM ≈ 15,42 см
CM ≈ 10,34 см

Ответ: длины средних линий треугольников MAD и MBC примерно равны 15,42 см и 10,34 см соответственно.