Question

 помогите пожалуйста с дано,найти , решениемВ трапеции АВСD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне СD и является биссектрисой угла А. Найдите длину АВ, если периметр трапеции равен 35 см, угол D равен 60°.

Answer 1

Дано: АВСД -трапеция
ВС//АД, АС перпендикулярно СД
уг ВАС= уг САД
уг Д =60
Р трапеции = 35 см
Найти АВ
В треугольнике АСД уг Д=60, уг ДСА=90, значит уг САД=30
отсюда СД=1/2 АД (катет против угла 30 градусов)
АС -биссектриса, то угол ВАД=60 градусов (2*30)
угол СВА= 180-угол ВАД= 180-60=120, значит в треугольнике АВС угол ВСА= 30 (180-120-30), значит он равнобедренный 
ВС=АВ=СД=1/2АД
Р=ВС+АВ+СД+АД, где АД=2АВ,значит Р=5АВ=35/5=7

Answer 2

Пусть точка пересечения диагоналей трапеции обозначена буквой O.

Так как диагональ АС является биссектрисой угла А, то угол АОС равен углу АOC. Поскольку угол АOC равен 180° минус угол D (так как сумма углов треугольника АОС равна 180°), то угол АОС равен 120°.

Также из свойств трапеции следует, что угол В = угол С.

Обозначим длину боковой стороны СD через х. Тогда длина боковой стороны АВ также равна х.

Из суммы углов треугольника АВС получаем, что угол А = 180° - 2 угла В. Так как угол В = угол С, то угол А = 180° - 2 угла С.

Из углов АОС и ВАО следует, что угол С = угол ВАС/2.

Таким образом, угол А = 180° - 2 угла В = 180° - 2 угла С = 180° - угла ВАС.

Рассмотрим треугольник ВАС. Так как угол В = угол С, то треугольник ВАС является равнобедренным, и высота, опущенная из вершины А, делит его на два прямоугольных треугольника.

Обозначим высоту, опущенную из вершины А, через h. Тогда:

1) ВА = х

2) СА = 2h (так как высота делит треугольник на два прямоугольных)

3) ВС = 2h/tan(ΒАС/2) (с использованием формулы для высоты равнобедренного треугольника)

Периметр трапеции равен AB + BC + CD + DA = х + ВС + х + 2h = 2 х + 2h/tan(ΒАС/2).
Используем данное условие задачи:

2 х + 2h/tan(ΒАС/2) = 35

Также у нас есть уравнение для угла ВАС:

А + ВАС + С = 180°
120° + 2 ВАС = 180°
2 ВАС = 60°
ВАС = 30°

Теперь мы можем выразить h через х и подставить в уравнение для периметра:

2 х + 2h/tan(30°) = 35
2 х + 2h/√(3) = 35
h/√(3) = 17.5 - х

Используя те же равенства для треугольника ВАС, мы можем выразить х через h:

ВС = 2h/tan(15°) = h/tan(7.5°)
2 х = h/tan(7.5°) - 2h = h(1/tan(7.5°) - 2)

Теперь мы можем подставить это выражение для х в уравнение для периметра и выразить h:

h/√(3) = 17.5 - [h(1/tan(7.5°) - 2)]/2
h = [35 √(3) - h(1/tan(7.5°) - 2)√(3)]/2

h(1 + √(3)/tan(7.5°)) = 35 √(3)

h = (35 √(3))/[1 + √(3)/tan(7.5°