Question

  Отрезки AB и CM пересекаются в точке О так, что AC||BM Найдите длину отрезка CM, если AO=12см, OB=3см, CO=8см

Answer 1

 Т к по условию AC||BM, то СМ и АВ -секущие. Значит углы С=М и А=В накрестлежащие.А углы СОА=ВОМ как вертикальные. Из этого следует, что треугольники АСО и ВОМ подобны, значит составим отношение:

Пусть ОМ=х, то АО/ОВ=СО/ОМ;  12/3=8/х; х=ОМ=8*3/12=2см, значит СМ=2+8=10см

Answer 2

Из условия AC||BM следует, что треугольники AOC и MOB подобны. Тогда:

$$\frac{CM}{BM}=\frac{CO}{OB}=\frac{8}{3}$$

Также, применяя теорему Пифагора к треугольнику AOC, получаем:

$$(AC)^2=(AO)^2+(OC)^2=12^2+8^2=208$$

Аналогично, для треугольника MOB:

$$(MB)^2=(OB)^2+(MO)^2=3^2+(OM)^2=OM^2+9$$

Рассмотрим еще одну пару подобных треугольников: AOM и COM. Из их подобия следует, что:

$$\frac{CM}{OM}=\frac{AC}{AO}=\frac{\sqrt{208}}{12}$$

Отсюда можно выразить $OM$ через $CM$:

$$OM = \frac{CM\cdot AO}{\sqrt{208}}$$

Подставляем это выражение в формулу для $MB^2$ и получаем квадратное уравнение относительно $CM$:

$$\left(\frac{CM\cdot AO}{\sqrt{208}}\right)^2 + 9 = (MB)^2 = \left(\frac{CM}{BM}\cdot MO\right)^2 = \frac{64}{9}\cdot(O M)^2$$

Раскрывая скобки и преобразуя уравнение, получаем:

$$\frac{125}{9}(OM)^2 - 49(CM)^2 = 0$$

Или:

$$(OM)^2 = \frac{49}{125}\cdot(CM)^2$$

Подставляем это выражение в соотношение для $CM$ и $BM$ и решаем относительно $CM$:

$$\frac{CM}{BM}=\frac{OM}{MO+OB}=\frac{CM\cdot AO/\sqrt{208}}{\frac{CM}{\sqrt{208}}+3}$$

$$\frac{8}{3}=\frac{12/\sqrt{208}}{CM/\sqrt{208}+3}$$

$$\frac{8}{3}\cdot(CM/\sqrt{208}+3)=12$$

$$\frac{8}{\sqrt{208}}\cdot CM + 8 = 12$$

$$CM = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{208} = 4\sqrt{13}$$

Ответ: $CM=4\sqrt{13}$ см.