Question

В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) АВ = 10 см,  радиус вписанной в него окружности равен 2 см. Найдите площадь этого треугольника. 

Answer 1

AB -гиппотенуза => BC^2 +AC^2 = AB^2 =100 сумма квадратов этих двух катетов должна быть равна 100. Можно, как мне кажется, подставить 64 и 36, а корни из этих чисел равны 6 и 8 (это катеты BC и AC) ну а площадь треугольника = r*p, где р - полупериметр. р=(AB+BC+AC)/2= (6+8+10)/2=12 => S= r*p=2*12=24 см^2. Не знаю правильно ли это:) Попробуйте:) 

Answer 2

Обозначим через $a$, $b$ и $c$ длины сторон треугольника $ABC$, где $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты. Так как $ZC = 90^\circ$, то $c = AB = 10$ см. Обозначим радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности через $r$.

Известно, что радиус вписанной окружности выражается формулой $r = \frac{a+b-c}{2}$. Подставляя известные значения, получим:

$2 = \frac{a+b-10}{2},$ $a+b = 14.$

Также известно, что площадь треугольника $ABC$ выражается формулой $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — катеты. Используя формулу Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, получим:

$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}\cdot \frac{a^2+b^2}{2} = \frac{1}{4}(a^2+b^2) = \frac{1}{4}(c^2 - 2ab) = \frac{1}{4}(100-2ab).$

Заметим, что $a+b=14$ в точности соответствует условию задачи о нахождении суммы корней квадратного уравнения $x^2 - 14x + 20 = 0$. Используя формулу корней квадратного уравнения, найдем $a$ и $b$:

$a = \frac{14 + \sqrt{14^2 - 4\cdot 20}}{2} = 7 + \sqrt{21},$ $b = \frac{14 - \sqrt{14^2 - 4\cdot 20}}{2} = 7 - \sqrt{21}.$

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC$:

$S = \frac{1}{4}(100-2ab) = \frac{1}{4}(100-2(7+\sqrt{21})(7-\sqrt{21})) = \frac{1}{4}(100-2\cdot 16) = 9.$

Ответ: площадь треугольника $ABC$ равна $9$ квадратных сантиметров.