Question

Диагональ АС параллелограмма АВСД равна 32 см,точка М лежит на стороне АВ,причем АМ:МВ=1:3.Найти отрезки,на которые отрезок ДМ делит диагональ АС

Answer 1

Пояснения к решению
Диагональ разделена на три части, одна у, средняя 3у, далее опять у
5у =32
у = 32:5
у= 6,4
Отсюда точка пересечения MD  и АС 
делит диагональ в отношении у : 4у
один отрезок 6,4, другой в четыре раза больше
25,6

Answer 2

Дано: ABCD - параллелограмм
АС=32 см
AM:MB=1:3
Найти: AF, FC
Решение:
Проведем BN||MD
Тогда MBND тоже является параллелограммом. Значит
MB=ND
Следовательно
AM=CM
Угол MAF=ECN (накрест лежащие)
Угол AMF=ENC (с соответственно параллельными сторонами).
Следовательно, треугольники MAF и ECN равны и AF=EC
Угол BAC пересечен параллельными прямыми BN и MD. Стороны угла делятся пропорционально. Значит
AF:FC=AM:MB=1:3
Т.е. EF=3AF,
FC=EF+EC=EF+AF=4AF
AF+FC=AC
AF+4AF=AC
5AF=AC
AF=0.2AC=0.2*32=6.4
FC=4*6.4=25.6
Ответ: 6,4 см, 25,6 см

Answer 3

Пусть точка $D$ является противоположной вершиной параллелограмма к точке $C$, и $N$ - точка пересечения отрезка $DM$ с диагональю $AC$. Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $AB\parallel CD$ и $DM$ пересекает $AB$ в точке $M$. Из условия задачи, $AM:MB=1:3$, следовательно, $AM=\frac{1}{4}AC$ и $MB=\frac{3}{4}AC$.

Треугольники $ANM$ и $CNM$ подобны, так как углы $\angle ANM$ и $\angle CNM$ прилежащие и равны, так как $AB\parallel CD$ и $\angle CAM = \angle CDM$ (они соответственные). Следовательно, $\frac{AN}{CN}=\frac{AM}{CM}$.

Используем теперь теорему Пифагора в треугольниках $ACM$ и $CBM$: \begin{align*} AC^2 &= AM^2 + CM^2,\ BC^2 &= BM^2 + CM^2. \end{align*}

Вычтем из первого равенства второе и подставим $AC=CD=BC$, получим $0=AM^2-BM^2=(AM+BM)(AM-BM)=\frac{1}{4}AC^2-\frac{9}{16}AC^2,$ откуда $\frac{AC^2}{16}=\frac{AC^2}{4}-\frac{9}{16}AC^2$, и $\frac{AC^2}{4}=\frac{9}{16}AC^2$, а значит $AC=8\sqrt{2}\text{ см}$.

Теперь мы можем найти отрезки, на которые $DM$ делит диагональ $AC$. Обозначим эти отрезки как $DN$ и $NC$. Используя подобие треугольников $ANM$ и $CNM$, имеем $\frac{AN}{NM}=\frac{CN}{NM}=\frac{AC}{CM}=2\sqrt{2}.$ Тогда $NM=\frac{1}{3}AC=\frac{8\sqrt{2}}{3}$, а значит $DN=AC-NM=\frac{16\sqrt{2}}{3}$ и $NC=NM=\frac{8\sqrt{2}}{3}$.

Итак, ответ: отрезок $DM$ делит диагональ $AC$ на отрезки $DN=\frac{16\sqrt{2}}{3}$ и $NC=\frac{8\sqrt{2}}{3}$ (см).