Question

з точки до площини проведено перпендикуляр і похилу , які утворюють між собою кут 60 градусів . Знайдіть відстань від точки до площинии , якщо проекція похилої дорівнює 3 см

Answer 1

Обозначим

а = 3 см - проекция наклонной на плоскость

h - расстояние от точки до плоскости

h/a = ctg 60°

h = a · ctg 60°

h = 3 · 1/√3 = √3

Ответ: расстояние от точки до плоскости равно √3 см или ≈ 1,73 см

Answer 2

Давайте позначимо дані елементи геометрії на малюнку:

<img src="https://i.ibb.co/0csnWxn/geometry.png" alt="geometry" border="0">

За теоремою Піфагора для трикутника ABD маємо:

$$AB^2 = AD^2 - BD^2$$

За теоремою Піфагора для трикутника BCD маємо:

$$BC^2 = BD^2 - CD^2$$

За властивістю синуса кута між прямими, маємо:

$$BD = AB \sin 60^\circ = \frac{AB}{2}$$

Підставляючи це в друге рівняння, отримуємо:

$$BC^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 - CD^2$$

Або, переписавши, можемо знайти $AB$:

$$AB = \sqrt{4BC^2 + 4CD^2} = 2\sqrt{BC^2 + CD^2}$$

Тепер, використовуючи проекцію похилої, маємо:

$$CD = 3\text{ см}$$

Отже, для знаходження $BC$ нам потрібно знайти проекцію $BD$ на площину ABC. Це буде відрізок AE на малюнку. Але так як ми не знаємо точного значення кута ABC, ми можемо використати співвідношення трикутників BDC та AEC:

$$\frac{BD}{CD} = \frac{AE}{EC}$$

Або, підставляючи відомі значення:

$$\frac{AB \sin 60^\circ}{3\text{ см}} = \frac{AE}{BC}$$

$$\frac{2\sqrt{BC^2 + 3^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3\text{ см}} = \frac{AE}{BC}$$

$$\frac{BC^2 + 3^2}{3} = \frac{AE^2}{4}$$

$$4BC^2 + 36 = 3AE^2$$

Тепер можна використати рівняння для $AB$ та підставити знайдене значення $BC$:

$$AB = 2\sqrt{BC^2 + CD^2} = 2\sqrt{BC^2 + 3^2} = \frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{3AE^2 - 36}$$

Залишається знайти значення $AE$. Для цього можна використати те саме