Question

точки A,B,C,D розміщені на колі так , що AB=BC=CA, BD- бісектриса кута ABC . Доведіть , що BD- діаметр кола.

Answer 1

Вот ответ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺

Answer 2

Для того, щоб довести, що BD є діаметром кола, потрібно показати, що точка D знаходиться на колі з центром у точці O, яка є серединою відрізка AC. Для цього ми можемо скористатися кількома властивостями кола та трикутника.

Оскільки AB = BC = CA, то трикутник ABC є рівностороннім, тобто кути при вершинах A, B, C дорівнюють 60 градусам. Також оскільки точка D лежить на бісектрисі кута ABC, то кут ABD дорівнює куту CBD.

З цих двох властивостей випливає, що кут ACD дорівнює 120 градусам. Також, оскільки точки A, B, C, D лежать на колі з центром O, то кути AOD та OCD дорівнюють половині відповідних дуг кола, тобто дорівнюють по 60 градусів кожен.

Отже, в трикутнику ACD маємо кути ACD = 120 градусів, AOD = OCD = 60 градусів. Такі кути можуть бути у трикутнику лише в тому випадку, коли трикутник ACD є рівностороннім, тобто AC = AD = CD. Отже, точка D знаходиться на колі з центром у точці O, яка є серединою відрізка AC, і BD є діаметром цього кола.

Отже, ми довели, що якщо точки A, B, C, D розміщені на колі так, що AB = BC = CA, а BD - бісектриса кута ABC, то BD є діаметром кола.