Question

Две окружности (C;a) и (D;b) касаютя внешним образом. Известно,что CD=16см и a=4 см. Найдите b.

Answer 1

При внешнем касании расстояние меж центрами окружностей равно сумме их радиусов
CD = a + b
16 = 4 + b
b = 16 - 4 = 12 см

Answer 2

Пусть точка касания окружностей будет обозначаться буквой E. Тогда из геометрии окружностей следует, что отрезок CE является высотой равнобедренной трапеции CDEF, где F - точка касания окружности (D;b) с прямой CE.

Так как CE является высотой, то EF = DE - CD = b - 16 см. Из прямоугольного треугольника CEF с гипотенузой (C;a) и катетами CE и EF, получаем:

a^2 = CE^2 + EF^2 = CE^2 + (b - 16)^2

Заменяем CE на a + b и решаем уравнение:

a^2 = (a + b)^2 + (b - 16)^2 a^2 = a^2 + 2ab + b^2 + b^2 - 32b + 256 0 = 4ab + 2b^2 - 32b + 256 0 = 2ab + b^2 - 16b + 128

Решаем квадратное уравнение относительно b:

b^2 + 2ab - 16b + 128 = 0 D = 4a^2 - 4(128 - 16a) = 16a^2 - 512 b = (-2a ± sqrt(D)) / 2 = -a ± sqrt(4a^2 - 128)

Так как b > 0, то берем знак "+":

b = -a + sqrt(4a^2 - 128)

Подставляем a = 4 см и находим b:

b = -4 + sqrt(4*4^2 - 128) ≈ 6.2 см

Ответ: b ≈ 6.2 см.