Question

Методом от противного доказать. Через точку М, не лежащую на прямой а, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой а. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми.

Answer 1

  По условию данные две прямые  не имеют общих точек с прямой а  и пересекаются в т.М, значит, лежат в одной плоскости (свойство).        Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещивающимися.  Предположим, что ни одна из этих прямых не является скрещивающейся с прямой а. Так как они  не пересекают прямую а ( не имеют с ней общих точек). обе параллельны прямой а. Но это допущение противоречит

    Аксиоме параллельных прямых. Через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.

 ⇒ Данные прямые не могут обе быть параллельными прямой а, поэтому хотя бы одна из них является скрещивающейся с прямой а

Answer 2

Для доказательства данного утверждения используем метод от противного, то есть предположим, что обе прямые, проведенные через точку M, не пересекают прямую a, и попробуем получить противоречие.

Пусть первая прямая, проведенная через точку M, называется l1, а вторая - l2. Так как эти прямые не пересекают прямую a, то они либо параллельны ей, либо расположены с разных сторон от нее.

Рассмотрим первый случай, когда l1 и l2 параллельны прямой a. Тогда эти две прямые должны быть параллельны друг другу, так как они не имеют общих точек. Однако, поскольку точка M находится вне прямой a, то существует третья прямая, проходящая через точку M и пересекающая прямую a в какой-то точке, образуя два угла. Но тогда прямые l1 и l2 должны лежать внутри одного из этих углов, что противоречит их параллельности.

Рассмотрим теперь второй случай, когда l1 и l2 расположены с разных сторон от прямой a. Тогда прямые l1 и l2 должны пересекаться, так как они не параллельны и не имеют общих точек с прямой a. Но тогда мы получаем, что эти две прямые скрещиваются, что противоречит нашему предположению.

Таким образом, мы пришли к противоречию в обоих случаях, что означает, что наше предположение неверно. Значит, по крайней мере одна из прямых l1 и l2 должна пересекать прямую a, образуя скрещивающиеся прямые.