Question

докажите что точка пересечения внешних углов треугольника равноудалена от прямых содержащих стороны этого треугольника​

Answer 1

Любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла. Точка O равноудалена от прямых AB и BC, а также от прямых BC и AC. То есть точка O равноудалена от прямых AB и AC (следовательно лежит на биссектрисе внутреннего угла A).

Answer 2

Пусть дан треугольник ABC, и точка D - точка пересечения внешних углов ABD и CBD (см. рисунок).

Тогда углы ABD и CBD дополнительны к углам ABC и ACB, соответственно, то есть:

∠ABD = 180° - ∠ABC

∠CBD = 180° - ∠ACB

Заметим также, что угол ABD и угол CBD являются смежными, поэтому:

∠ABD + ∠CBD = (180° - ∠ABC) + (180° - ∠ACB) = 360° - (∠ABC + ∠ACB)

Но сумма углов треугольника ABC равна 180°, поэтому:

∠ABC + ∠ACB = 180°

Из этого следует, что:

∠ABD + ∠CBD = 360° - 180° = 180°

То есть, углы ABD и CBD дополнительны друг другу.

Таким образом, получаем, что в треугольнике ABD угол DAB равен углу ACB, поскольку они являются вертикальными углами, а угол ADB равен углу ABC, поскольку они дополнительны друг другу. Аналогично, в треугольнике CBD угол DCB равен углу ABC, а угол CDB равен углу ACB.

Теперь заметим, что точка D лежит на биссектрисе угла ACB (поскольку угол DBC равен углу ACB), а также на биссектрисе угла ABC (поскольку угол DAB равен углу ACB). То есть, точка D находится на пересечении биссектрис углов A и C.

Но известно, что точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной окружности. То есть, точка D равноудалена от сторон AB и BC треугольника ABC, поскольку это радиус вписанной окружности.

Таким образом, мы доказали, что точка пересечения внешних углов треугольника равноудалена от прямых, содержащих стороны этого треугольника.