Question

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD — в точке Q. Оказалось, что четырёхугольник PBDQ является вписанным. Найдите угол PQA, если ∠BAD=60∘, ∠BAC=18∘.

Answer 1

Ответ:

48°

Объяснение:

Answer 2

Поскольку четырехугольник PBDQ вписанный, сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Таким образом,

∠BPD + ∠BQD = 180°.

Также, поскольку AB и DC - две соседние стороны вписанного четырехугольника ABCD, и они пересекаются в точке P, угол ∠APD является половинным углом ∠BAD, то есть

∠APD = 30°.

Аналогично, угол ∠DQC является половинным углом ∠DCB, то есть

∠DQC = 36°.

Теперь мы можем выразить ∠BPD и ∠BQD в терминах углов ∠BAD, ∠BAC, ∠APD и ∠DQC. Сначала заметим, что

∠APB = ∠APD + ∠BAC = 30° + 18° = 48°,

и

∠CQD = ∠DQC + ∠BCD = 36° + 60° = 96°.

Тогда, поскольку ABCD - вписанный четырехугольник, мы имеем:

∠BAC + ∠BCD = ∠BAD + ∠ADC = 120°.

Следовательно,

∠BCD = 120° - ∠BAC = 102°,

и

∠BAD = 120° - ∠ADC = 60°.

Теперь мы можем выразить ∠BPD и ∠BQD:

∠BPD = 180° - ∠APB - ∠BAD = 180° - 48° - 60° = 72°,

∠BQD = 180° - ∠CQD - ∠BCD = 180° - 96° - 102° = -18°.

Поскольку ∠BQD отрицательный, мы можем рассматривать его как угол, дополняющий до 180 градусов. Таким образом,

∠BQD = 180° - |-18°| = 162°.

Теперь мы можем найти угол PQA:

∠PQA = ∠BQD - ∠BPD = 162° - 72° = 90°.

Таким образом, угол PQA равен 90 градусов.