Question

На відрізках МН І МК у прямокутнику МРКН взято точки Е і Т відповідно кут КЕН=30 ЕТперпендикулярне МК кут КМН=15 .доведіть що РТ>0,49КН

Answer 1

на фото...................

Answer 2

Для доведення нерівності РТ > 0,49КН можна скористатися декількома геометричними спостереженнями та властивостями трикутників і прямокутників.

1. Оскільки кут КЕН дорівнює 30 градусам, то трикутник КЕН є рівностороннім. Звідси НЕ = КЕ.

2. Аналогічно, оскільки кут КМН дорівнює 15 градусам, то трикутник КМН можна розбити на два прямокутні трикутники КМТ і ТНМ, такі, що кут ТКМ дорівнює 75 градусам.

3. Позначимо довжину сторони прямокутника МРКН як а, а довжину сторони МН як b. Тоді, за властивостями прямокутника, МК = МН = b, РК = РН = а, і МТ = РТ = а - b.

4. Застосуємо теорему синусів до трикутника ТКМ: sin(75) = ТК / МК ТК = МК * sin(75) = b * sin(75)

5. Застосуємо теорему синусів до трикутника КНЕ: sin(30) = НЕ / КЕ НЕ = КЕ * sin(30) = (b + РТ) * 1/2

6. Розглянемо прямокутний трикутник ТНМ: sin(15) = ТН / МН ТН = МН * sin(15) = b * sin(15)

7. Розглянемо прямокутний трикутник КНТ: cos(75) = ТН / ТК ТН = ТК * cos(75) = b * sin(75) * cos(75)

8. Підставимо отримані значення ТН і НЕ у нерівність РТ > 0,49КН: РТ > 0,49КН а - b > 0,49 * (b + РТ) а > 0,49b + 0,49РТ а > 0,49b + 0,49(b * sin(75) * cos(75) + b/2) а > 0,49b + 0,24b * sin(150) + 0,245b а > 0,735b - 0,24b * sin(30)

9. За допомогою тригонометричних формул можна перетворити вираз