Question

В треугольнике ABC AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=52 и CH=28. Найдите cosB

Answer 1

В треугольнике АВС у нас получается 2 прямоугольных треугольника АВН и АНС. Сторона АВ=ВС=52+28=80(по условию). cos угла В=52/80=0,65
Ответ 0,65.

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать теорему косинусов.

Из рисунка треугольника ABC видно, что AB=BC, поэтому угол B равен углу C. Пусть этот угол равен α. Тогда из прямоугольного треугольника ABH следует, что:

cos α = BH / AB = 52 / AB

Аналогично, из прямоугольного треугольника ACH получаем:

cos α = CH / AC = 28 / AC

Теперь применяем теорему косинусов к треугольнику ABC:

cos α = (AB² + AC² - BC²) / (2AB·AC)

Так как AB=BC, то это равно:

cos α = (AB² + AC² - AB²) / (2AB·AC) = AC / (2AB)

Отсюда получаем:

AC = 2AB·cos α

Используя найденные значения AC и cos α, можем найти cos B:

cos B = (AB² + AC² - BH²) / (2AB·AC) = (AB² + (2AB·cos α)² - BH²) / (2AB·2AB·cos α)

Подставляя значения BH=52, CH=28 и выражение для cos α, получим:

cos B = (AB² + (2AB·(52 / AB))² - 52²) / (2AB·2AB·(52 / AB))

Упрощая, получаем:

cos B = (1 + 4·(52 / AB)² - 2·(52 / AB)) / 8

Осталось найти длину стороны AB. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике AHB:

AB² = AH² + BH² = (52+28)² + 52² = 9408

Таким образом, AB = √9408 = 4√58.

Подставляем это значение в формулу для cos B:

cos B = (1 + 4·(52 / 4√58)² - 2·(52 / 4√58)) / 8

Упрощая, получаем:

cos B = (1 + 676/29 - 26/√58) / 8

cos B ≈ 0.813

Ответ: cosB ≈ 0.813.