Question

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямоугольного угла проведена высота CD. Докажите что если BD=3AD то угол А 60 градусов. пожалуйста срочно помогите

Answer 1

Пойдем от обратного. Рассмотрим ΔАВС.

Пусть ∠А=60°, тогда ∠В=90-∠А=90-60=30°, тогда гипотенуза АВ=2АС (катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы).

Рассмотрим ΔADC, ∠ACD=30°, значит АС=2AD⇒

АВ=2АС=2*2AD=4AD, но АВ=AD+DB, приравняем обе части:

AD+DB=4AD⇒ DB=4AD-AD=3AD.         

Если DB=3AD, то ∠А=60°, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим угол A через α. Тогда:

BD = 3AD AD + BD = AB = c (гипотенуза) CD = BD cos α = 3AD cos α BD = c sin α AD = c cos α

Подставляем выражения для AD и BD в уравнение BD = 3AD:

c sin α = 3c cos α

Разделяя на c и упрощая, получаем:

tan α = 1/3

Таким образом, мы нашли тангенс угла α, который равен 1/3. Заметим, что это значение соответствует углу 18,19 градусов. Однако, по условию задачи, угол А является прямым, то есть α + 90° = 90°, откуда α = 90° - α.

Подставляем это в выражение для тангенса:

tan (90° - α) = cot α = 3

Теперь мы нашли котангенс угла α, который равен 3. Таким образом, угол α равен 30 градусам, а угол А равен 60 градусам.

Таким образом, мы доказали, что если BD = 3AD, то угол А равен 60 градусов.