Question

Периметр прямоугольника равен 72 см, а биссектриса проведена с его вершины делит диагоналиь в отношении 4: 5. Найти площадь прямоугольника. Пожалуйста помогите..

Answer 1

Ответ:

128 см²

Объяснение:

Пусть а, в стороны прямоугольника; по свойству биссектрисы а/в=4/5;  

а=4х; в=5х; а+в=4x+5x=72/2=36;

4х+5х=36

9х=36

х=36/9

х=4

Найдем другую сторону

(4+х)*2=72

х=72/2-4

х=36-4

х=32

Площадь 32*4=128 см²

Answer 2

Обозначим длину прямоугольника через $a$, а ширину через $b$. Тогда периметр $P$ выражается как:

$P = 2a + 2b = 72$

Также из условия задачи известно, что биссектриса угла между диагоналями делит большую диагональ в отношении 4:5. Пусть $d_1$ и $d_2$ - длины диагоналей прямоугольника, тогда:

$\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{5}$

Можно выразить $d_2$ через $d_1$:

$d_2 = \frac{5}{4}d_1$

С другой стороны, известно, что биссектриса угла между диагоналями делит меньшую диагональ на две равные части. Обозначим половину меньшей диагонали через $x$, тогда:

$x^2 = ab$

$x^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = \frac{d_1^2 + (\frac{5}{4}d_1)^2}{4} = \frac{25}{16}d_1^2$

Откуда следует:

$ab = x^2 = \frac{25}{16}d_1^2$

Теперь можно выразить $a$ и $b$ через $d_1$ и подставить в уравнение на периметр:

$a = \frac{x^2}{b} = \frac{25}{16} \frac{d_1^2}{b}$

$2a + 2b = \frac{25}{8}d_1^2 + 2b = 72$

$b = \frac{72 - \frac{25}{8}d_1^2}{2} = \frac{144 - \frac{25}{4}d_1^2}{4}$

$a = \frac{25}{16} \frac{d_1^2}{b} = \frac{25}{16} \frac{d_1^2}{\frac{144 - \frac{25}{4}d_1^2}{4}} = \frac{25}{16} \frac{4d_1^2}{144 - \frac{25}{4}d_1^2}$

Теперь можно выразить площадь прямоугольника:

$S = ab = \frac{25}{16} \frac{4d_1^2}{144 - \frac{25}{4}d_1^2} \cdot \frac{144 - \frac{25}{4}d_1^2}{4} = \frac{25}{16}d_1^2$

Осталось найти $d_1$. Из уравнения $\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{5}$ следует, что $d_1 =