Question

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС выбраны соответственно точки М, К и Р так, что АМ:МВ=4:1, ВК:КС=3:1, СР:РА=2:1. Отрезки МК и ВР пересекаются в точке О. Найдите отношения МО:ОК и ВО:ОР.

Answer 1

Решение прицеплено в картинке.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать свойства подобных треугольников и пропорции отрезков.

Обозначим длины сторон треугольника как AB = c, BC = a, AC = b. Тогда из условия задачи имеем:

AM = 4/5c MV = 1/5c BK = 3/4a KC = 1/4a CR = 2/3b RA = 1/3b

Теперь рассмотрим треугольники AOK и BOR. Они подобны, так как имеют соответственные углы при вершине O. Также мы знаем, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

Из этого следует, что:

МО/ОК = AM/BK = (4/5)c / (3/4)a = 16c/15a ВО/ОР = MV/CR = (1/5)c / (2/3)b = 3c/10b

Таким образом, мы нашли отношения МО:ОК и ВО:ОР. Осталось только подставить значения сторон треугольника и вычислить численные значения:

МО/ОК = 16c/15a ВО/ОР = 3c/10b

Ответ: МО/ОК = 16c/15a, ВО/ОР = 3c/10b.