Question

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 60°, равен три корня из трёх см. Найдите две другие стороны этого треугольника и его площадь .

Answer 1

Гипотенуза равна (3 корня из 3) разделить на sin 60 
затем, имея гипотенузу, используем теорему Пифагора: оставшийся катет будет равен корню из квадрата гипотенузы минус квадрат второго катета. 
получаем 6(гипотенуза) и 3(катет)

Answer 2

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Тогда, используя соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, мы можем записать:

$c^2 = a^2 + b^2$

Мы также знаем, что катет, лежащий против угла 60°, равен $3\sqrt{3}$ см. Обозначим этот катет через $a$:

$a = 3\sqrt{3}$ см

Так как угол между катетами равен 90°, то другой катет $b$ можно найти, используя теорему Пифагора:

$b^2 = c^2 - a^2$

Подставляя известные значения, получаем:

$b^2 = c^2 - (3\sqrt{3})^2 = c^2 - 27$

Теперь мы можем выразить площадь треугольника, используя формулу $S = \frac{1}{2}ab$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot b = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot b$

Нам осталось найти значение $b$. Для этого заметим, что в прямоугольном треугольнике углы 30°, 60° и 90° соответственно имеют стороны, относящиеся как 1 : $\sqrt{3}$ : 2. Следовательно, отношение катета $a$ к гипотенузе $c$ равно:

$\frac{a}{c} = \frac{1}{2}$

Тогда $c = 2a = 6\sqrt{3}$ см. Используя это значение, мы можем найти $b$:

$b^2 = c^2 - 27 = (6\sqrt{3})^2 - 27 = 99$

$b = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}$ см

Таким образом, две другие стороны треугольника равны $3\sqrt{3}$ см и $3\sqrt{11}$ см, а его площадь равна $\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3\sqrt{11} = \frac{9\sqrt{33}}{2}$ квадратных сантиметров.