Question

Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5. Найти меньший катет треугольника. Помогите пожалуйста!!

Answer 1

Радиус описанной окружности  равен 5, мы знаем что при описанной окружности на прямоугольный треугольник гипотенуза и есть диаметр окружности то есть равен 10․
Еще мы знаем что радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник r=(a+b-c)/2=2
получим a+b=4+c=14
По теореме Пифагора a²+b²=100

a²+b²=100
a+b=14

a²+2ab+b²=196
2ab+100=196
ab=48

a=6 b=8
a=8 b=6

Ответ 6

Answer 2

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - его гипотенуза. Мы знаем, что вписанная окружность касается сторон треугольника в точках касания, а описанная окружность проходит через вершины треугольника.

Известно, что радиус вписанной окружности равен 2, а значит расстояние от центра вписанной окружности до любой стороны треугольника равно 2. Это значит, что прямая, соединяющая центр вписанной окружности с серединой стороны, является высотой треугольника, проведенной на эту сторону.

Из теоремы Пифагора мы знаем, что

a^2 + b^2 = c^2

Из равенства площадей треугольника через стороны, мы знаем, что

S = (a+b+c)r/2

где r - радиус вписанной окружности, а S - площадь треугольника.

Подставим известные значения:

S = ab/2 = (a+b+c)*2/2 = a+b+c

r = 2

По формуле для радиуса описанной окружности

R = c/2

получаем

c = 2R = 10

Теперь мы можем решить систему уравнений:

a^2 + b^2 = c^2 a+b+c = 10

Подставим второе уравнение в первое:

a^2 + b^2 = (10-a-b)^2

a^2 + b^2 = 100 - 20(a+b) + (a+b)^2

a^2 + b^2 = 100 - 20(a+b) + a^2 + 2ab + b^2

20(a+b) - 2ab = 100

10(a+b-ab/10) = 50

a+b-ab/10 = 5

10a+10b-ab = 50

ab = 10a + 10b - 50

Теперь мы можем найти значение меньшего катета, используя формулу для площади треугольника:

S = ab/2

S = (10a + 10b - 50)/2 = 5a + 5b - 25

С другой стороны, мы знаем, что

S = a*b/2

5a + 5b - 25 = a*b/2

10a + 10b - 50 = ab

ab - 10a - 10b = -50

(a-10)(b-10) = 50

Таким образом, мы должны найти два числа, разность которых равна 10, а произведение равно 50. Такими числ