Question

Через середину диагонали AC прямоугольника ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD прямоугольника в точках М и К соответственно, АС = 15 см, АК = 4 см, KD = 8 см. Вычислите площадь четырехугольника AMCK.Помогите!

Answer 1

СD²=AC²+AD²
15²=12²+AC²
AC²=225-144
AC=9 см, S= AD×CD= 12×9=108 см²

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться следующими свойствами прямоугольника:

• Диагональ прямоугольника делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
• Для прямоугольного треугольника верно соотношение Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Используя эти свойства, найдём длину диагонали AC:

AC = √(AB² + BC²) = √(AD² + DC²) = √(15² + 20²) = √625 = 25 см

Так как точка М лежит на диагонали AC, то AM = MC = 25 / 2 = 12,5 см.

Теперь рассмотрим треугольник AKD. Из условия задачи известны стороны AK = 4 см и KD = 8 см. Найдём сторону AD:

AD = √(AK² + KD²) = √(4² + 8²) = √80 = 4√5 см

Теперь мы можем найти площадь треугольника AKD:

S(AKD) = 1/2 * AK * KD = 1/2 * 4 * 8 = 16 см²

Наконец, найдём площадь четырёхугольника AMCK как сумму площадей треугольников AMD и CKM:

S(AMCK) = S(AMD) + S(CKM)

Оба эти треугольника являются прямоугольными и равнобедренными, поэтому

S(AMD) = S(CKM) = 1/2 * AM * MD = 1/2 * MC * CK = 1/2 * 12,5 * 4√5 = 25√5 см²

Таким образом,

S(AMCK) = 2 * S(AMD) = 50√5 см²

Ответ: площадь четырёхугольника AMCK равна 50√5 см².