Question

ABC- треугольник, AB=BC, AM-биссектриса, BM=4, MC=1. Найдите AM.

Answer 1

Бісектриса трикутника -відрізок бісектриси обного з кутів цього трикутника від вершини кута до перетину з протилежною стороною.
Тоді MC=1

Answer 2

AM=корень из BM*MC=корень из 4*1=корень из 4 = 2
Ответ:AM=2(см)

Answer 3

Для начала заметим, что так как треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), то у него также равны углы при вершине A и C.

Теперь, так как AM является биссектрисой угла BAC, то она делит угол BAC на два равных угла, т.е. угол BAM равен углу CAM.

Обозначим угол BAM и угол CAM через x. Тогда, по теореме синусов, для треугольника ABM:

scssCopy code
sin(x) / BM = sin(180 - 2x) / AB

Подставляя значения BM = 4 и AB = 2BC, получаем:

scssCopy code
sin(x) / 4 = sin(180 - 2x) / (2BC)

Далее, для треугольника CMB:

scssCopy code
sin(x) / 1 = sin(180 - 3x) / BC

Решим эту систему уравнений, выразив sin(x) из первого уравнения и подставив его во второе:

scssCopy code
sin(x) = 8/3 * sin(180 - 2x)
sin(x) = 3/4 * sin(180 - 3x)

Разделим первое уравнение на второе:

scssCopy code
8/3 * sin(180 - 2x) / (3/4 * sin(180 - 3x)) = 1
32 * sin(180 - 2x) / (9 * sin(180 - 3x)) = 1
32 * sin(2x) / (9 * sin(3x)) = 1
32 * 2sin(x)cos(x) / (9 * 3sin(x) - 4sin^3(x)) = 1

Упрощаем:

scssCopy code
64cos(x) = 27 - 36sin^2(x)

Теперь используем равенство sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и заменяем cos(x) на (27 - 36sin^2(x))/64:

scssCopy code
sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2sin(x)(27 - 36sin^2(x))/64

Раскрываем sin(2x):

scssCopy code
2sin(x)cos(x) = 2sin(x)(27 - 36sin^2(x))/64
sin(x) = (27 - 36sin^2(x))/32

Умножаем обе части на 32:

scssCopy code
32sin(x) = 27 - 36sin^2(x)

Теперь это уравнение можно решить методом подстановки, например, заменив sin(x) на t:

Copy code
32t = 27 - 36t^2
36t^2 + 32t - 27 = 0

Решая это квадратное уравнение, находим:

arduinoCopy code
t = (sqrt(181) - 8) / 18

Так как мы заменили sin(x) на t, то чтобы