Question

Вот, придумал еще одну "зарядку для хвоста" Дан прямоугольный треугольник. Высота к гипотенузе делит его на два треугольника. Найти радиусы вписанных окружностей в эти треугольники и в данный треугольник, если известно, что они есть целые числа и их величина минимальна. Дерзайте! :)

Answer 1

Введем обозначения:
r - радиус окружности, вписанной в большой треугольник,
r₁ - радиус окружности, вписанной в синий треугольник,
r₂ - радиус окружности, вписанной в коричневый треугольник.

Будут использованы формулы:
h² = a₁b₁
a² = a₁c
b² = b₁c

Большой треугольник:
r = (a + b - c)/2 = (√(a₁c) + √(b₁c) - √(c²))/2 = √c·( √a₁ + √b₁ - √c)/2

Синий треугольник:
r₁ = (a₁ + h - a)/2 = (√(a₁)² + √(a₁b₁) - √(a₁c))/2 = √a₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2

Коричневый треугольник:
r₂ = (h + b₁ - b) /2 = (√(a₁b₁) + √(b₁)² - √(b₁c))/2 = √b₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2

r₁/r = √a₁/√c
r₂/r = √b₁/√c

Так как длины радиусов - целые числа, то с, a₁ и b₁ должны быть квадратами целых чисел.
Наименьший квадрат целого числа, который является суммой квадратов целых чисел, это 25  (25 = 9 + 16)
Тогда,

r₁/r = 3/5
r₂/r = 4/5

Так как радиусы должны быть наименьшими, это 3, 4 и 5.