Question

Докажите, что средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам (чертеж) док-ть доказать через треугольники ABC и DCB

Answer 1

)))))))))))))))))))))))))

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим трапецию ABCD с вершинами A, B, C и D, диагоналями AC и BD, и средней линией MN, которая параллельна сторонам AB и CD и делит трапецию на две равные части.

Проведем от точки M, где средняя линия MN пересекает диагональ AC, отрезок MP, параллельный стороне AB и пересекающий сторону CD в точке P. Аналогично проведем от точки N, где средняя линия MN пересекает диагональ BD, отрезок NQ, параллельный стороне CD и пересекающий сторону AB в точке Q.

Тогда треугольник ABC подобен треугольнику DCB, так как у них соответственные углы равны, а соответственные стороны параллельны. Таким образом, мы имеем:

AB/DC = BC/CB

С другой стороны, по определению трапеции:

AB + CD = BC + AD

или

AB - CB = AD - DC

Так как средняя линия MN делит трапецию на две равные части, то ее длина равна полусумме длин оснований:

MN = (AB + CD)/2

Следовательно, MN = AB/2 + CD/2. Тогда можно записать:

AB - 2MN + CD = 0

Используя выражение для MP и NQ, можно также записать:

AB - 2MP + CD = 0

AB - 2NQ + CD = 0

Отсюда следует, что MP = NQ = MN, то есть средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам.