Question

В треугольник ABC вписана окружность, которая касается стороны AB в точке C1, стороны BC в точке A1, стороны CA в точке. B1.Найдите периметр треугольника, если AC1=3 , BA1=5, CB1=2. С подробным решением плиз

Answer 1

похоже опять шутка. может заданы не АС1 а А1С1?... тогда это была бы хорошая задача. А так периметр 20, и почти нечего добавить.

 

Дело в том, что если есть 2 касательных из одной точки к окружности, то они равны по длине. Поэтому АС1 = АВ1, ВС1 = ВА1, СА1 = СВ1, и периметр равен 2*(3 + 5 + 2) = 20. Тут нет задачи даже.:(

Answer 2

Для начала, заметим, что окружность, вписанная в треугольник, является центром вписанной окружности. Поэтому мы можем воспользоваться свойством касательных и построить перпендикуляры к сторонам треугольника из точек касания окружности с этими сторонами.

Обозначим длины отрезков BC, CA, AB как a, b, c соответственно, а радиус вписанной окружности как r. Тогда построенные перпендикуляры разобьют треугольник на шесть маленьких треугольников, каждый из которых является прямоугольным.

Поэтому мы можем выразить длины сторон треугольника через радиус вписанной окружности r и длины отрезков AC₁, BA₁, CB₁:

AC = AC₁ + C₁B + CB₁ = 3 + r + 2 = r + 5 AB = A₁B + BA₁ = r + 5 BC = B₁C + C₁A = r + 3

Также мы знаем, что радиус вписанной окружности можно выразить через площадь треугольника и его полупериметр:

r = √(s(s-a)(s-b)(s-c))/s, где s = (a+b+c)/2 - полупериметр треугольника

Из этой формулы мы можем выразить полупериметр s:

s = (a+b+c)/2 = (r+5 + r+5 + r+3)/2 = 3r + 6

Теперь мы можем выразить длины сторон через радиус вписанной окружности:

AC = r + 5 = √(s(s-a)(s-b)(s-c))/s + 5 AB = r + 5 = √(s(s-a)(s-b)(s-c))/s + 5 BC = r + 3 = √(s(s-a)(s-b)(s-c))/s + 3

Возводя обе части каждого из этих уравнений в квадрат и складывая их, мы получаем:

2(r+5)² + (r+3)² = s(s-a)(s-b)(s-c)/s + 30

Раскрывая скобки и упрощая выражение, мы получаем:

3r² + 16r - 11 = 0

Решая квадратное уравнение, мы получаем два возможных значения для радиуса:

r = (-16 + √328)/6 ≈ 0.91 или r = (-16 - √328)/6 ≈ -3.38

Так как радиус не может быть отрицательным, мы выбираем первый корень r ≈ 0.91.

Тепер