Question

в прямоугольном треугольнике высота проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки 9 и 16 найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник

Answer 1

Гипотенуза равна 16+9=25; один катет равен: а^2=9*25; а=3*5=15; второй катет равен: в^2=16*25; в=4*5=20; полупериметр равен: р=(15+20+25)/2=30; площадь равна: S=15*20/2=150; радиус окружности равен: r=S/p; r=150/30=5; ответ: 5

Answer 2

Пусть треугольник $ABC$ является прямоугольным, причем прямой угол находится в вершине $C$, и пусть высота $CH$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки длины $9$ и $16$, как показано на рисунке:

cssCopy code
A-----16-----B
|          / |
|       /    |
|    /       |
| /          |
C------------H

Обозначим катеты треугольника $ABC$ через $a$ и $b$, гипотенузу через $c$, а радиус вписанной окружности через $r$.

Так как $CH$ является высотой треугольника $ABC$, то $CH$ также является биссектрисой угла $C$, и поэтому $AH = b$, $BH = a$, и $CH = c \cos \angle C$. Также, по условию, $AH = 9$ и $BH = 16$, поэтому $a = BH = 16$ и $b = AH = 9$.

По теореме Пифагора $c^2 = a^2 + b^2 = 16^2 + 9^2 = 337$, поэтому $c = \sqrt{337}$.

Также мы знаем, что площадь треугольника $ABC$ равна $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 9 = 72$, и поэтому с другой стороны

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r,$

где $r$ - радиус вписанной окружности.

Таким образом, решая это уравнение для $r$, получаем

$r = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 72}{\sqrt{337}} \approx 4.14.$

Ответ: радиус вписанной окружности примерно равен $4.14$.