Question

в прямоугольный треугольник вписана окуржность.точка касания делит гипотенузу в отношении 5:12.найти площадь треугольника, если центр окружности удален от вершины прямого угла на расстоянии квадратный корень из 18

Answer 1

 x/y=5/12 => y=12x/5

Находим R=√18/√2=3см, на основании sin 45=1/√2.

Находим меньшие отрезки  катетов относительно точек касания окружности, так как образованные треуголники радиусами и бисектрисой прямого угла - равнобедренные, то эти отрезки = 3 см.

Составляем уравнение по Пифагору, (x+3)^2+(3+y)^2=(x+y)^2; в это уравнение подставляем  y=12x/5.

Получаем после упрощений уравнение: 6x+6y-2xy+18 => 4x^2-17x-15=0, решаем и находим x=5 см; y=12 см

Находим S=(5+3)*(12+3)=8*15=120 см^2

Answer 2

Обозначим вершину прямого угла треугольника как $C$, катеты - $A$ и $B$, точку касания окружности с гипотенузой - $D$, центр окружности - $O$, и ее радиус - $r$. Также пусть $CD=x$ и $CE=y$.

Заметим, что $CD$ и $CE$ являются катетами прямоугольных треугольников $ACD$ и $BCE$ соответственно, а значит, $CD:CE=5:12$. Из этого следует, что $CD=\frac{5}{5+12}AB=\frac{5}{17}AB$ и $CE=\frac{12}{5+12}AB=\frac{12}{17}AB$.

Так как точка $D$ является точкой касания окружности, то $OD\perp CD$, а значит, $OD$ является высотой треугольника $ACD$. Так как $OD=r$ и $CD=\frac{5}{17}AB$, то по теореме Пифагора получаем: $AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{AB^2-\left(\frac{5}{17}AB\right)^2}=\frac{4\sqrt{221}}{17}.$ Аналогично, из того, что $CE$ является катетом прямоугольного треугольника $BCE$, следует: $BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=\sqrt{AB^2-\left(\frac{12}{17}AB\right)^2}=\frac{3\sqrt{221}}{17}.$

Таким образом, площадь треугольника $ABC$ равна: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}AB\cdot\left(AD+DC+BC\right)=\frac{1}{2}AB\cdot\left(\frac{4\sqrt{221}}{17}+\frac{5}{17}AB+\frac{3\sqrt{221}}{17}\right).$

Нам осталось найти длину стороны $AB$. Обозначим расстояние от точки $O$ до вершины $C$ как $h$. Тогда $h^2=18$ (по условию) и $h=r+OD=r$. Также заметим, что $O$ является центром вписанной окружности, а значит, $OC$ является радиусом этой окружности. Таким образом, $OC=r$.

Теперь применим теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $OAC$: $AC^2=OC^2+OA^2=(r)^2+\left(r+\frac{5}{17}AB\right)^2.$ Но мы знаем, что $AC=BC=\frac{3\