Question

Докажите ,что ABCD-прямоугольник ,если A(6;-7;-8) В(7;5;-20) С(-5;2;-24) D(-6;-10;-12)

Answer 1

AB=DC  BC=AD

AB (-12;-1;12) |AB|=√1+144+144=17

DC(-12;-1;12) |DC|=√1+144+144=17

AB=DC

BC(-3;-4;-12) |BC|=√144+16+9=13

AD(-3;-4;-12) |AD|=√144+16+9=13

AD=BC

так как AB=DC и AD=BC равны, то ABCD - прямоугольник

все списано из тетради, задание решалось на уроке

Answer 2

Для доказательства того, что ABCD-прямоугольник, необходимо показать, что все его стороны перпендикулярны друг другу.

Для этого мы можем воспользоваться тремя векторами, каждый из которых определяет одну из сторон прямоугольника. Эти векторы можно получить, вычислив разности координат смежных вершин:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix}7-6 \ 5-(-7) \ -20-(-8)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \ 12 \ -12\end{pmatrix}$

$\vec{BC} = \begin{pmatrix}-5-7 \ 2-5 \ -24-(-20)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12 \ -3 \ -4\end{pmatrix}$

$\vec{CD} = \begin{pmatrix}-6-(-5) \ -10-2 \ -12-(-24)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \ -12 \ 12\end{pmatrix}$

Теперь, чтобы показать, что стороны прямоугольника ABCD перпендикулярны друг другу, необходимо показать, что скалярное произведение любых двух из этих векторов равно нулю:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (1)(-12) + (12)(-3) + (-12)(-4) = 0$

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1)(-1) + (12)(-12) + (-12)(12) = 0$

$\vec{BC} \cdot \vec{CD} = (-12)(-1) + (-3)(-12) + (-4)(12) = 0$

Таким образом, мы показали, что все стороны прямоугольника ABCD перпендикулярны друг другу, что является определением прямоугольника. Следовательно, ABCD-прямоугольник.