Question

АВСD–выпуклый четырёхугольник, в котором CAD+ BCA= 180, и АВ = ВС + AD. Доказать, что CAВ + DCA=СDA.

Answer 1

Два способа 
1) Пусть BC и AD пересекаются в точке  T, тогда TCA - равнобедренный (CAD+BCA=180) . 
   Продлив за точку C , отрезок равный CD'=AD получаем TDD' - равнобедренный  TDD'=BCA , значит  CDD'A  вписанный , откуда BD'A = CDA , так как ACD = CAD' откуда BAD' = CAB+DCA = BD'A=CDA (так как  AB=DB') то есть  CAB+DCA=CDA 
  
2) Положим что  BCA=x, CAB=n , DCA=m , тогда 
 BC=AB*sin(n)/sinx   
 AD=AB*sin(n+x)*sin(m)/(sinx*sin(x-m))   
 Так как BC+AD=AB откуда 
 sin(n)/sinx + sin(n+x)*sin(m)/(sinx*sin(x-m))  = 1   
 sin(m+n) = sin(x-m) 
 m+n=x-m 
 x=2m+n 
 То есть BCA=2DCA+CAB и так как 
 CDA=BCA-DCA  
 Откуда CDA=DCA+CAB

Answer 2

Для доказательства того, что $\angle CAV + \angle DCA = \angle SDA$, мы можем воспользоваться теоремой синусов.

Рассмотрим треугольник $ACD$. По условию задачи, $\angle CAD + \angle BCA = 180^\circ$. Следовательно, $\angle CAD = 180^\circ - \angle BCA$.

Также, из условия $AB = BC + AD$ следует, что $BC = AB - AD$. Мы можем подставить это значение в теорему синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{BC}{\sin \angle BCA} = \frac{AB}{\sin \angle CBA}$

$\frac{AB - AD}{\sin \angle BCA} = \frac{AB}{\sin \angle CBA}$

$\frac{AB}{\sin \angle BCA} - \frac{AD}{\sin \angle BCA} = \frac{AB}{\sin \angle CBA}$

$\frac{\sin \angle CBA}{\sin \angle BCA} - \frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle BCA} = 1$

$\frac{\sin \angle CBA}{\sin \angle BCA} = \frac{\sin \angle CAD + \sin \angle BCA}{\sin \angle BCA} = \frac{\sin (\angle CAD + \angle BCA)}{\sin \angle BCA}$

Теперь мы можем использовать этот результат в теореме синусов для треугольника $ACD$:

$\frac{CD}{\sin \angle CDA} = \frac{AD}{\sin \angle CAD} = \frac{AD}{\sin (180^\circ - \angle BCA)} = \frac{AD}{\sin \angle BCA}$

$\frac{AC}{\sin \angle ACD} = \frac{AD}{\sin \angle CDA} = \frac{AD}{\sin \angle BCA} \cdot \frac{\sin \angle CBA}{\sin (\angle CAD + \angle BCA)}$

$\frac{AC}{\sin \angle ACD} = \frac{\sin \angle CBA}{\sin \angle BCA} \cdot \frac{AD}{\sin (\angle CAD + \angle BCA)} = \frac{\sin \angle CAD + \sin \angle BCA}{\sin \angle BCA} \cdot \frac{AD}{\sin (\angle CAD + \angle BCA)}$

$\frac{AC}{AD} = \frac{\sin \angle CAD + \sin \angle BCA}{\sin \angle BCA} \cdot \frac{\sin \angle ACD}{\sin (\angle CAD + \angle BCA)} = \frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle BCA} + \frac{\sin \angle ACD}{\sin (\angle CAD + \angle BCA)}$

Последний переход основан на теореме синусов для треугольника $ACD$, а также на равенстве $\angle CAD + \angle BCA = 180^\circ$.

Мы можем выразить $\sin \angle CAD$ из первого у