Question

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D. Докажите , что если биссектрисы углов ADB и ACB пересекаются на стороне AB, то BD меньше BC.

Answer 1

По свойству биссектрисы в ΔABD и ΔАВС:

AE/EB = AD/BD = AC/BC = k или это можно записать так:

AD/AC = BD/BC , по условию AD < AC , т.к. D ∈ AC, значит, из равенства следует, что BD < BC, ч.т.д.

Answer 2

Ответ:  во вложении Объяснение:

Answer 3

Пусть точка пересечения биссектрис угла ADB и угла ACB находится на стороне AB и обозначается как точка E. Также пусть точка пересечения биссектрисы угла ADB с отрезком AC обозначается как точка F.

Так как точка E лежит на биссектрисе угла ACB, то она делит сторону AB на отрезки пропорциональные смежным сторонам треугольника ABC. То есть:

AE/EB = AC/CB.

Также, так как точка E лежит на биссектрисе угла ADB, она делит сторону AB на отрезки, пропорциональные расстояниям от точки E до сторон AD и DB. То есть:

AE/EB = AD/DB.

Сочетая эти два уравнения, получаем:

AD/DB = AC/CB.

Мы знаем, что биссектриса угла ACB делит сторону AC на отрезки, пропорциональные оставшимся сторонам треугольника. То есть:

AF/FC = AB/CB.

Сочетая это уравнение с уравнением AD/DB = AC/CB, получаем:

AF/FC = AD/DB.

Теперь рассмотрим треугольник ADF. По теореме о биссектрисе угла, точка F лежит на отрезке DC, который является биссектрисой угла ADC. Следовательно:

AF/FD = AC/CD.

Сочетая это уравнение с уравнением AF/FC = AD/DB, получаем:

AD/DB = AC/CD.

Из этих двух уравнений следует, что:

AD/DB = AC/CD = (AD + CD)/(DB + CD) < AD/DB + 1.

Следовательно, 1 < AD/DB, что означает, что BD меньше BC. Таким образом, мы доказали, что если биссектрисы углов ADB и ACB пересекаются на стороне AB, то BD меньше BC.